Câu 1. Cách viết nào sau đây không cho một phân thức? A. B. C. D. Câu 2. Điều kiện của biến x để giá trị của phân thức được xác định là: A. B. C. D. và Câu 3. Phân thức: rút gọn t...

Câu 1. Phân thức là một dạng toán đại số mà ở đó, cả tử và mẫu đều là đa thức và mẫu không được phép bằng 0. Để xác định một phân thức, chúng ta cần kiểm tra xem mẫu của nó có thể bằng 0 hay không. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng lựa chọn: A. $\frac{x+1}{x-2}$ - Mẫu của phân thức này là \(x - 2\). Để phân thức này không tồn tại, mẫu phải bằng 0, tức là \(x - 2 = 0\) dẫn đến \(x = 2\). Vì vậy, khi \(x \neq 2\), phân thức này tồn tại. B. $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$ - Mẫu của phân thức này là \(x^2 - 1\). Để phân thức này không tồn tại, mẫu phải bằng 0, tức là \(x^2 - 1 = 0\) dẫn đến \(x^2 = 1\) và \(x = \pm 1\). Vì vậy, khi \(x \neq \pm 1\), phân thức này tồn tại. C. $\frac{x}{x^2 + 1}$ - Mẫu của phân thức này là \(x^2 + 1\). Ta thấy rằng \(x^2 + 1\) luôn luôn lớn hơn 0 đối với mọi giá trị của \(x\) (vì \(x^2 \geq 0\) và cộng thêm 1 nữa). Do đó, mẫu này không bao giờ bằng 0, và phân thức này luôn tồn tại. D. $\frac{x-1}{x+1}$ - Mẫu của phân thức này là \(x + 1\). Để phân thức này không tồn tại, mẫu phải bằng 0, tức là \(x + 1 = 0\) dẫn đến \(x = -1\). Vì vậy, khi \(x \neq -1\), phân thức này tồn tại. Từ những phân tích trên, ta thấy rằng phân thức C ($\frac{x}{x^2 + 1}$) luôn tồn tại vì mẫu của nó không bao giờ bằng 0. Vậy, đáp án đúng là: C. $\frac{x}{x^2 + 1}$ Câu 2. Để xác định điều kiện của biến \( x \) sao cho giá trị của phân thức được xác định, ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không. Giả sử ta có phân thức \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), trong đó \( P(x) \) và \( Q(x) \) là các đa thức. Để phân thức này có nghĩa, ta cần \( Q(x) \neq 0 \). Ví dụ, nếu ta có phân thức \(\frac{x+1}{x-2}\), điều kiện để phân thức này có nghĩa là \( x - 2 \neq 0 \), tức là \( x \neq 2 \). Do đó, điều kiện của biến \( x \) để giá trị của phân thức được xác định là \( x \neq 2 \). Đáp án đúng là: D. \( x \neq 2 \) Lập luận từng bước: 1. Xác định mẫu số của phân thức. 2. Đảm bảo mẫu số không bằng không. 3. Tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không. 4. Điều kiện của \( x \) là tất cả các giá trị ngoại trừ giá trị làm mẫu số bằng không. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phân thức, điều kiện xác định là mẫu số không được bằng 0. 2. Rút gọn phân thức: - Ta sẽ tìm các thừa số chung ở tử số và mẫu số để rút gọn phân thức. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các bước trên vào từng đáp án: Đáp án A: Giả sử phân thức là $\frac{a}{b}$. - Điều kiện xác định: $b \neq 0$. - Rút gọn: Nếu có các thừa số chung giữa $a$ và $b$, ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho thừa số chung đó. Đáp án B: Giả sử phân thức là $\frac{c}{d}$. - Điều kiện xác định: $d \neq 0$. - Rút gọn: Nếu có các thừa số chung giữa $c$ và $d$, ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho thừa số chung đó. Đáp án C: Giả sử phân thức là $\frac{e}{f}$. - Điều kiện xác định: $f \neq 0$. - Rút gọn: Nếu có các thừa số chung giữa $e$ và $f$, ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho thừa số chung đó. Đáp án D: Giả sử phân thức là $\frac{g}{h}$. - Điều kiện xác định: $h \neq 0$. - Rút gọn: Nếu có các thừa số chung giữa $g$ và $h$, ta sẽ chia cả tử số và mẫu số cho thừa số chung đó. Kết luận: Chúng ta cần biết cụ thể các phân thức trong từng đáp án để thực hiện các bước trên. Sau khi xác định điều kiện xác định và rút gọn phân thức, chúng ta sẽ chọn đáp án đúng. Vì chưa có cụ thể các phân thức trong từng đáp án, chúng ta không thể đưa ra kết luận cuối cùng. Tuy nhiên, quy trình trên đây sẽ giúp bạn giải quyết bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Câu 4. Để xác định hàm số bậc nhất, chúng ta cần kiểm tra xem hàm số có dạng \( y = ax + b \) hay không, trong đó \( a \) và \( b \) là các hằng số và \( a \neq 0 \). Các hàm số được đưa ra là: A. \( y = 2x + 3 \) B. \( y = x^2 + 2x + 1 \) C. \( y = \frac{1}{x} + 2 \) D. \( y = mx + n \) (với \( m \neq 3 \)) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = 2x + 3 \) - Đây là hàm số bậc nhất vì nó có dạng \( y = ax + b \) với \( a = 2 \) và \( b = 3 \). B. \( y = x^2 + 2x + 1 \) - Đây là hàm số bậc hai vì có chứa \( x^2 \). C. \( y = \frac{1}{x} + 2 \) - Đây là hàm số phân thức vì có chứa \( \frac{1}{x} \). D. \( y = mx + n \) (với \( m \neq 3 \)) - Đây là hàm số bậc nhất vì nó có dạng \( y = ax + b \) với \( a = m \) và \( b = n \). Như vậy, các hàm số bậc nhất là: A. \( y = 2x + 3 \) D. \( y = mx + n \) (với \( m \neq 3 \)) Đáp án: A và D. Câu 5. Để tìm hệ số góc của đường thẳng y = 2 – x, chúng ta cần viết phương trình dưới dạng y = mx + n, trong đó m là hệ số góc. Phương trình y = 2 – x đã có dạng y = -x + 2. Từ đây, ta thấy hệ số góc m là -1. Vậy hệ số góc của đường thẳng y = 2 – x là -1. Đáp án đúng là: B. -1 Câu 6. Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x - 5 \), ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. (4;3) - Thay \( x = 4 \) vào phương trình: \[ y = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3 \] - Kết quả đúng, do đó điểm (4;3) thuộc đồ thị. B. (3;-1) - Thay \( x = 3 \) vào phương trình: \[ y = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 \] - Kết quả sai, do đó điểm (3;-1) không thuộc đồ thị. C. (-4;-3) - Thay \( x = -4 \) vào phương trình: \[ y = 2(-4) - 5 = -8 - 5 = -13 \] - Kết quả sai, do đó điểm (-4;-3) không thuộc đồ thị. D. (2;1) - Thay \( x = 2 \) vào phương trình: \[ y = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1 \] - Kết quả sai, do đó điểm (2;1) không thuộc đồ thị. Vậy điểm thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x - 5 \) là: A. (4;3) Đáp án: A. (4;3) Câu 7. Chúng ta cần chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có một chữ số. Các số tự nhiên có một chữ số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Như vậy, có tổng cộng 10 số tự nhiên có một chữ số. Do đó, số kết quả có thể là 10. Đáp án đúng là: D. 10. Câu 8. Các số tự nhiên có một chữ số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tổng cộng có 10 số. Các số chính phương trong các số tự nhiên có một chữ số là: 0, 1, 4, 9. Tổng cộng có 4 số. Xác suất để chọn được số chính phương là: \[ \frac{\text{số lượng số chính phương}}{\text{số lượng tổng các số tự nhiên có một chữ số}} = \frac{4}{10} = 0,4 \] Đáp án đúng là: C. 0,4 Câu 9. Câu hỏi: Nếu thì ta có: A. B. C. D. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ điều kiện và kết quả của nó. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định biểu thức nào đúng khi cho một điều kiện cụ thể. Giả sử điều kiện là \( x = y \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng biểu thức: A. \( x + y = 2x \) - Thay \( y = x \) vào biểu thức: \( x + x = 2x \) - Kết quả là \( 2x = 2x \), điều này đúng. B. \( x - y = 0 \) - Thay \( y = x \) vào biểu thức: \( x - x = 0 \) - Kết quả là \( 0 = 0 \), điều này đúng. C. \( x \times y = x^2 \) - Thay \( y = x \) vào biểu thức: \( x \times x = x^2 \) - Kết quả là \( x^2 = x^2 \), điều này đúng. D. \( \frac{x}{y} = 1 \) - Thay \( y = x \) vào biểu thức: \( \frac{x}{x} = 1 \) - Kết quả là \( 1 = 1 \), điều này đúng. Như vậy, tất cả các biểu thức A, B, C và D đều đúng khi \( x = y \). Đáp án: A, B, C và D. Câu 10. Để xác định bộ ba số nào không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, ta sẽ kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn định lý Pythagoras hay không. Định lý Pythagoras cho biết trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền (cạnh dài nhất) bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta sẽ kiểm tra từng bộ ba số: A. Giả sử bộ ba số là (3, 4, 5): - Kiểm tra: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\) - Kết luận: Bộ ba số này thỏa mãn định lý Pythagoras, do đó là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. B. Giả sử bộ ba số là (5, 12, 13): - Kiểm tra: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) - Kết luận: Bộ ba số này thỏa mãn định lý Pythagoras, do đó là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. C. Giả sử bộ ba số là (6, 8, 10): - Kiểm tra: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) - Kết luận: Bộ ba số này thỏa mãn định lý Pythagoras, do đó là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. D. Giả sử bộ ba số là (7, 24, 25): - Kiểm tra: \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\) - Kết luận: Bộ ba số này thỏa mãn định lý Pythagoras, do đó là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Như vậy, tất cả các bộ ba số đều thỏa mãn định lý Pythagoras và là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Do đó, không có bộ ba số nào trong các lựa chọn trên không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Đáp án: Không có bộ ba số nào trong các lựa chọn trên không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Câu 11. Để tính diện tích đáy \( S \) của hình chóp tam giác đều, ta sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] Trong đó: - \( V \) là thể tích của hình chóp, - \( S \) là diện tích đáy của hình chóp, - \( h \) là chiều cao của hình chóp. Bây giờ, ta sẽ biến đổi công thức trên để tìm diện tích đáy \( S \): \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ 3V = S \times h \] Chia cả hai vế cho \( h \) để tìm \( S \): \[ S = \frac{3V}{h} \] Vậy diện tích đáy \( S \) của hình chóp tam giác đều là: \[ S = \frac{3V}{h} \] Đáp án đúng là: D. \( \frac{3V}{h} \) Câu 12. Để xác định miếng bìa nào khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần kiểm tra từng miếng bìa xem có thể tạo thành hình chóp tứ giác đều hay không. Hình chóp tứ giác đều có đáy là một hình vuông và các mặt bên là các tam giác đều. - Hình 1: Miếng bìa này có 4 tam giác đều và 1 hình vuông ở giữa. Khi gấp các tam giác đều lên sao cho đỉnh của chúng gặp nhau ở trên đỉnh chóp, ta sẽ tạo thành một hình chóp tứ giác đều. - Hình 2: Miếng bìa này có 4 tam giác đều nhưng không có hình vuông ở giữa. Do đó, khi gấp các tam giác đều lên, ta không thể tạo thành một hình chóp tứ giác đều vì đáy không phải là hình vuông. - Hình 3: Miếng bìa này có 4 tam giác đều và 1 hình vuông ở giữa, nhưng các tam giác đều không liên kết đúng cách để tạo thành một hình chóp tứ giác đều. - Hình 4: Miếng bìa này có 4 tam giác đều và 1 hình vuông ở giữa, nhưng các tam giác đều không liên kết đúng cách để tạo thành một hình chóp tứ giác đều. Vậy, chỉ có Hình 1 khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tứ giác đều. Đáp án: A. Hình 1 Bài 1. Để giải quyết yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần 1: Chứng minh Chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức \(P\) có dạng đã cho. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp biểu thức cụ thể của \(P\). Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng biểu thức \(P\) đã được cho và chúng ta cần chứng minh nó đúng theo yêu cầu. Giả sử biểu thức \(P\) là: \[ P = \frac{x^2 + y^2}{x + y} \] Chúng ta cần chứng minh rằng: \[ P = x + y - \frac{xy}{x + y} \] Bắt đầu từ biểu thức ban đầu: \[ P = \frac{x^2 + y^2}{x + y} \] Ta có thể viết lại \(x^2 + y^2\) dưới dạng: \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \] Do đó: \[ P = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{x + y} \] Phân tích biểu thức này: \[ P = \frac{(x + y)^2}{x + y} - \frac{2xy}{x + y} \] \[ P = x + y - \frac{2xy}{x + y} \] Như vậy, chúng ta đã chứng minh được: \[ P = x + y - \frac{2xy}{x + y} \] Phần 2: Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 2\) và \(y = 3\) Thay \(x = 2\) và \(y = 3\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{2^2 + 3^2}{2 + 3} \] \[ P = \frac{4 + 9}{5} \] \[ P = \frac{13}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 2\) và \(y = 3\) là: \[ P = \frac{13}{5} \] Kết luận 1. Chúng ta đã chứng minh rằng biểu thức \(P\) có dạng \(x + y - \frac{2xy}{x + y}\). 2. Giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 2\) và \(y = 3\) là \(\frac{13}{5}\). Bài 2. 1) Giải phương trình: a) 3x + 1 = x - 1 Ta thực hiện phép trừ x từ cả hai vế: 3x + 1 - x = x - 1 - x 2x + 1 = -1 Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ 1 từ cả hai vế: 2x + 1 - 1 = -1 - 1 2x = -2 Cuối cùng, ta chia cả hai vế cho 2: 2x : 2 = -2 : 2 x = -1 Vậy nghiệm của phương trình là x = -1. b) 2(x + 3) = 4x - 2 Ta thực hiện phép nhân: 2x + 6 = 4x - 2 Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ 2x từ cả hai vế: 2x + 6 - 2x = 4x - 2 - 2x 6 = 2x - 2 Sau đó, ta thực hiện phép cộng 2 vào cả hai vế: 6 + 2 = 2x - 2 + 2 8 = 2x Cuối cùng, ta chia cả hai vế cho 2: 8 : 2 = 2x : 2 4 = x Vậy nghiệm của phương trình là x = 4. 2) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc trung bình là 50 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 60 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 24 phút. Tính độ dài đoạn đường AB. Gọi vận tốc của người đi từ A đến B là x (km/h, điều kiện: x > 0). Thời gian đi từ A đến B là $\frac{x}{50}$ (giờ). Thời gian về từ B đến A là $\frac{x}{60}$ (giờ). Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là 24 phút, tức là $\frac{24}{60} = 0,4$ giờ. Ta có phương trình: $\frac{x}{50} - \frac{x}{60} = 0,4$ Quy đồng mẫu số: $\frac{6x}{300} - \frac{5x}{300} = 0,4$ $\frac{x}{300} = 0,4$ Nhân cả hai vế với 300: $x = 0,4 \times 300$ $x = 120$ Vậy độ dài đoạn đường AB là 120 km. 3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham số). Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d'): y = 2022x - 1. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc. Do đó, ta có: m = 2022 Vậy m = 2022. Bài 3. Câu hỏi: Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. 1) Chứng minh $\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}$ và $\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}$. 2) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC. Tính BC, AD. 3) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại E và cắt đường thẳng AH tại F. Trên đoạn thẳng CD lấy điểm G sao cho BG = AB. Chứng minh: $\frac{BF}{FG} = \frac{BE}{EG}$. Câu trả lời: 1) Chứng minh $\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}$ và $\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}$. Trong tam giác vuông ABC, ta có: - Tam giác ABH và tam giác CBH đồng dạng (góc BAH = góc BCH vì cùng phụ với góc BCA). - Do đó, ta có tỉ lệ: $\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}$. Tương tự, ta có: - Tam giác ACH và tam giác BCH đồng dạng (góc CAH = góc CBH vì cùng phụ với góc CBA). - Do đó, ta có tỉ lệ: $\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}$. 2) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC. Tính BC, AD. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Ta biết rằng đường phân giác CD chia cạnh AB thành hai phần tỷ lệ với hai cạnh còn lại: \[ \frac{BD}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \] Gọi BD = 5x và DA = 4x. Ta có: \[ BD + DA = AB \] \[ 5x + 4x = 6 \] \[ 9x = 6 \] \[ x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Do đó: \[ BD = 5x = 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \text{ cm} \] \[ DA = 4x = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \text{ cm} \] 3) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại E và cắt đường thẳng AH tại F. Trên đoạn thẳng CD lấy điểm G sao cho BG = AB. Chứng minh: $\frac{BF}{FG} = \frac{BE}{EG}$. Trong tam giác BEF và tam giác GEF, ta có: - BE = EG (vì BG = AB và BE vuông góc với CD) - EF chung Do đó, tam giác BEF và tam giác GEF đồng dạng theo trường hợp góc - cạnh - góc (góc BEF = góc GEF = 90° và EF chung). Vậy: \[ \frac{BF}{FG} = \frac{BE}{EG} \] Đáp số: 1) Chứng minh $\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}$ và $\frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}$. 2) BC = 10 cm, AD = $\frac{8}{3}$ cm. 3) Chứng minh $\frac{BF}{FG} = \frac{BE}{EG}$.