cho hình chóp s.abc có tam giác vuông tại A cạnh bên SA vuông gcos với mặt phẳng đáy .M là trung điểm của cạnh BC.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM theo a ,biết AB=2a,SA= a.😊😊

Question

cho hình chóp s.abc có tam giác vuông tại A cạnh bên SA vuông gcos với mặt  phẳng đáy .M là trung điểm của cạnh BC.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM theo a ,biết AB=2a,SA= a.😊😊

Accepted Answer

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và vectơ:
   - Ta có tam giác ABC vuông tại A, AB = 2a, AC = a.
   - Mặt phẳng đáy ABC, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
   - M là trung điểm của BC.

2. Tìm tọa độ các điểm:
   - Gọi A là gốc tọa độ (0, 0, 0).
   - B có tọa độ (2a, 0, 0).
   - C có tọa độ (0, a, 0).
   - S có tọa độ (0, 0, a).

3. Tìm tọa độ của M:
   - M là trung điểm của BC, nên tọa độ của M là:
     $$
     M = \left( \frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( a, \frac{a}{2}, 0 \right)
     $$

4. Tìm vectơ SB và AM:
   - Vectơ SB:
     $$
     \overrightarrow{SB} = (2a - 0, 0 - 0, 0 - a) = (2a, 0, -a)
     $$
   - Vectơ AM:
     $$
     \overrightarrow{AM} = \left( a - 0, \frac{a}{2} - 0, 0 - 0 \right) = \left( a, \frac{a}{2}, 0 \right)
     $$

5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và AM:
   - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa SB và AM là tích vector của $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AM}$:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AM}
     $$
     $$
     \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     2a & 0 & -a \
     a & \frac{a}{2} & 0
     \end{vmatrix}
     = \mathbf{i} \left( 0 \cdot 0 - (-a) \cdot \frac{a}{2} \right) - \mathbf{j} \left( 2a \cdot 0 - (-a) \cdot a \right) + \mathbf{k} \left( 2a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a \right)
     $$
     $$
     = \mathbf{i} \left( \frac{a^2}{2} \right) - \mathbf{j} \left( a^2 \right) + \mathbf{k} \left( a^2 \right)
     $$
     $$
     = \left( \frac{a^2}{2}, -a^2, a^2 \right)
     $$

6. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM:
   - Chọn điểm A trên đường thẳng AM và điểm S trên đường thẳng SB.
   - Vectơ AS:
     $$
     \overrightarrow{AS} = (0 - 0, 0 - 0, a - 0) = (0, 0, a)
     $$
   - Khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AM:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}
     $$
     $$
     \overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{n} = (0, 0, a) \cdot \left( \frac{a^2}{2}, -a^2, a^2 \right) = 0 \cdot \frac{a^2}{2} + 0 \cdot (-a^2) + a \cdot a^2 = a^3
     $$
     $$
     |\overrightarrow{n}| = \sqrt{\left( \frac{a^2}{2} \right)^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + a^4 + a^4} = \sqrt{\frac{9a^4}{4}} = \frac{3a^2}{2}
     $$
     $$
     d = \frac{|a^3|}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a^3}{\frac{3a^2}{2}} = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}
     $$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AM là $\frac{2a}{3}$.