Tính khoảng cách giữa AB và CD

Câu 7: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, -1-1, 3-1) = (1, -2, 2)$ - Vectơ $\overrightarrow{CD} = D - C = (-3+1, 5+1, -3-2) = (-2, 6, -5)$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng là tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \] Ta tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 6 & -5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-5) - (2)(6)) - \mathbf{j}((1)(-5) - (2)(-2)) + \mathbf{k}((1)(6) - (-2)(-2)) \] \[ = \mathbf{i}(10 - 12) - \mathbf{j}(-5 + 4) + \mathbf{k}(6 - 4) \] \[ = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(2) \] \[ = (-2, 1, 2) \] 3. Tìm khoảng cách từ điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia: - Chọn điểm $A(1, 1, 1)$ trên đường thẳng AB và điểm $C(-1, -1, 2)$ trên đường thẳng CD. - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -1-1, 2-1) = (-2, -2, 1)$ - Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng là: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} = (-2)(-2) + (-2)(1) + (1)(2) = 4 - 2 + 2 = 4 \] Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{n}$: \[ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Vậy khoảng cách $d$ là: \[ d = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3} \] Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là $\frac{4}{3}$.