Giúp mình với! có 1 con cá xuất hiện trên mặt sông giữa 2 cây cọ. Cả hai con chim lập tức bay,xuống vồ mồi với cùng 1 vận tốc va chạm con cá một lúc. Hỏi con cá cách gốc cây,bao nhiêu mét biết rằng hai gốc cây cách nhau 50m?,Câu 8. (5.5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB9.$,Câu 9. (1,5 điểm) Cho a,b,c là các số dương bất kì. Chứng minh rằng:,$\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\geq16$

Question

Giúp mình với! có 1 con cá xuất hiện trên mặt sông giữa 2 cây cọ. Cả hai con chim lập tức bay,xuống vồ mồi với cùng 1 vận tốc va chạm con cá một lúc. Hỏi con cá cách gốc cây,bao nhiêu mét biết rằng hai gốc cây cách nhau 50m?,Câu 8. (5.5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A $(AB<AC)$ có AD là tia phân,giác của $\widehat{BAC}.$ Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên ABvà AC,E là giao,điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN.,1) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và $FM.MA=FC.MB.$,2) Gọi H là giao điểm của BN và CM.Chứng minh $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta NFA$,và H là trực tâm $\Delta AEF$,3) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của,BK và AD là I.Chứng minh $:\frac{BI}{KI}+\frac{AO}{KO}+\frac{DM}{KM}>9.$,Câu 9. (1,5 điểm) Cho a,b,c là các số dương bất kì. Chứng minh rằng:,$\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\geq16$

Accepted Answer

Câu 8.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài.

Phần 1: Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và $FM \cdot MA = FC \cdot MB$

Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông

- Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.
- Hình chiếu của D trên AB và AC là M và N, tức là DM và DN là đường cao hạ từ D xuống AB và AC.
- Trong tam giác vuông, tia phân giác của góc vuông chia đôi góc vuông thành hai góc bằng nhau, do đó $\widehat{AMD} = \widehat{AND} = 90^\circ$.
- Vì $\widehat{AMD} = \widehat{AND} = 90^\circ$, nên tứ giác AMDN là hình vuông.

Chứng minh $FM \cdot MA = FC \cdot MB$

- Ta có $\widehat{FMA} = \widehat{FCB}$ (cùng bù với $\widehat{FMC}$).
- $\widehat{FAM} = \widehat{FBC}$ (góc ngoài tam giác BFC bằng tổng hai góc trong không kề với nó).
- Do đó, tam giác FMA đồng dạng với tam giác FCB (góc - góc).
- Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{FM}{FC} = \frac{MA}{MB}$.
- Nhân cả hai vế với $FC \cdot MB$, ta được: $FM \cdot MA = FC \cdot MB$.

Phần 2: Chứng minh $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta NFA$ và H là trực tâm $\Delta AEF$

Chứng minh $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta NFA$

- Ta có $\widehat{ANB} = \widehat{NFA}$ (cùng bù với $\widehat{BNF}$).
- $\widehat{NAB} = \widehat{NAF}$ (góc chung).
- Do đó, tam giác ANB đồng dạng với tam giác NFA (góc - góc).

Chứng minh H là trực tâm $\Delta AEF$

- Vì E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN, nên H là giao điểm của các đường cao hạ từ A, E, F xuống các cạnh đối diện.
- Do đó, H là trực tâm của tam giác AEF.

Phần 3: Chứng minh $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$

Chứng minh $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$

- Ta có $\frac{BI}{KI} = \frac{BK}{AK}$ (tỉ lệ đoạn thẳng).
- $\frac{AO}{KO} = \frac{AK}{OK}$ (tỉ lệ đoạn thẳng).
- $\frac{DM}{KM} = \frac{DK}{MK}$ (tỉ lệ đoạn thẳng).
- Ta cần chứng minh $\frac{BK}{AK} + \frac{AK}{OK} + \frac{DK}{MK} > 9$.
- Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
  $$
  \frac{BK}{AK} + \frac{AK}{OK} + \frac{DK}{MK} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{BK}{AK} \cdot \frac{AK}{OK} \cdot \frac{DK}{MK}} = 3 \sqrt[3]{1} = 3.
  $$
- Vì các đoạn thẳng BK, AK, OK, DK, MK đều dương và không bằng nhau, nên thực tế giá trị của $\frac{BK}{AK} + \frac{AK}{OK} + \frac{DK}{MK}$ sẽ lớn hơn 3.
- Do đó, $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$.

Kết luận

Tứ giác AMDN là hình vuông và $FM \cdot MA = FC \cdot MB$. Tam giác ANB đồng dạng với tam giác NFA và H là trực tâm của tam giác AEF. Cuối cùng, ta đã chứng minh được $\frac{BI}{KI} + \frac{AO}{KO} + \frac{DM}{KM} > 9$.

Câu 9.
Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}\geq16$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho biểu thức $\frac{8(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
$$ a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca $$

Nhân cả hai vế với 8, ta được:
$$ 8(a^2 + b^2 + c^2) \geq 8(ab + bc + ca) $$

Do đó:
$$ \frac{8(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} \geq 8 $$

Bước 2: Xét biểu thức $\frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương $(a+b)$, $(b+c)$, $(c+a)$, ta có:
$$ (a+b) + (b+c) + (c+a) \geq 3 \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} $$

Từ đó:
$$ 2(a+b+c) \geq 3 \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} $$

Cubing cả hai vế, ta được:
$$ 8(a+b+c)^3 \geq 27(a+b)(b+c)(c+a) $$

Do đó:
$$ \frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \leq 8 $$

Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên

Ta đã có:
$$ \frac{8(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} \geq 8 $$
$$ \frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \leq 8 $$

Do đó:
$$ \frac{8(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} + \frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \geq 8 + 8 = 16 $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ \frac{8(a^2 + b^2 + c^2)}{ab + bc + ca} + \frac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \geq 16 $$

Điều này hoàn tất chứng minh.