Giai dap cau hoi

Câu 9. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x - 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số: - Nguyên hàm của \( \cos x \) là \( \sin x \). - Nguyên hàm của \( -1 \) là \( -x \). 2. Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau và thêm hằng số \( C \): \[ \int (\cos x - 1) \, dx = \int \cos x \, dx - \int 1 \, dx = \sin x - x + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x - 1 \) là: \[ \sin x - x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\sin x - x + C \] Câu 10. Để xác định điểm nào không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị, ta cần kiểm tra khoảng cách từ mỗi điểm đến điểm A(30;0;0) và so sánh với bán kính 50m. Khoảng cách từ điểm M(50;0;0) đến điểm A(30;0;0): \[ d_{MA} = \sqrt{(50 - 30)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{20^2} = 20 \text{ m} \] Khoảng cách từ điểm Q(0;-20;0) đến điểm A(30;0;0): \[ d_{QA} = \sqrt{(0 - 30)^2 + (-20 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{900 + 400} = \sqrt{1300} \approx 36.06 \text{ m} \] Khoảng cách từ điểm P(-10;30;10) đến điểm A(30;0;0): \[ d_{PA} = \sqrt{(-10 - 30)^2 + (30 - 0)^2 + (10 - 0)^2} = \sqrt{(-40)^2 + 30^2 + 10^2} = \sqrt{1600 + 900 + 100} = \sqrt{2600} \approx 50.99 \text{ m} \] Khoảng cách từ điểm N(30;-15;1) đến điểm A(30;0;0): \[ d_{NA} = \sqrt{(30 - 30)^2 + (-15 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0 + 15^2 + 1^2} = \sqrt{225 + 1} = \sqrt{226} \approx 15.03 \text{ m} \] So sánh các khoảng cách với bán kính 50m: - \(d_{MA} = 20 \text{ m}\) < 50 m - \(d_{QA} \approx 36.06 \text{ m}\) < 50 m - \(d_{PA} \approx 50.99 \text{ m}\) > 50 m - \(d_{NA} \approx 15.03 \text{ m}\) < 50 m Như vậy, điểm P(-10;30;10) có khoảng cách lớn hơn 50m nên không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị. Đáp án: C. P(-10;30;10). Câu 11. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ x^3 - x = 3x \] \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là $x = 0$, $x = 2$, và $x = -2$. Tuy nhiên, trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = 3$, chỉ có giao điểm $x = 0$ và $x = 2$ nằm trong khoảng này. 2. Xác định phần diện tích cần tính: Diện tích cần tính là phần giữa hai đồ thị từ $x = 0$ đến $x = 2$ và từ $x = 2$ đến $x = 3$. 3. Tính diện tích từng phần: - Từ $x = 0$ đến $x = 2$: Đồ thị $y = 3x$ nằm trên đồ thị $y = x^3 - x$. - Từ $x = 2$ đến $x = 3$: Đồ thị $y = x^3 - x$ nằm trên đồ thị $y = 3x$. 4. Tính diện tích từng phần bằng tích phân: - Phần từ $x = 0$ đến $x = 2$: \[ A_1 = \int_{0}^{2} (3x - (x^3 - x)) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx \] \[ A_1 = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left( 2(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} \right) \] \[ A_1 = \left( 8 - 4 \right) - 0 = 4 \] - Phần từ $x = 2$ đến $x = 3$: \[ A_2 = \int_{2}^{3} ((x^3 - x) - 3x) \, dx = \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] \[ A_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{2}^{3} = \left( \frac{(3)^4}{4} - 2(3)^2 \right) - \left( \frac{(2)^4}{4} - 2(2)^2 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - \left( 4 - 8 \right) \] \[ A_2 = \left( \frac{81}{4} - \frac{72}{4} \right) - (-4) \] \[ A_2 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} = \frac{25}{4} \] 5. Tổng diện tích: \[ A = A_1 + A_2 = 4 + \frac{25}{4} = \frac{16}{4} + \frac{25}{4} = \frac{41}{4} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ là $\frac{41}{4}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{41}{4}$. Câu 12. Để tính thể tích của phần vật thể B được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ \( x = a \) và \( x = b \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cắt lát và tích phân. 1. Phương pháp cắt lát: - Ta chia phần vật thể B thành các lát mỏng dọc theo trục Ox. - Mỗi lát này có độ dày rất nhỏ \( dx \) và diện tích mặt cắt là \( S(x) \). 2. Thể tích của mỗi lát: - Thể tích của mỗi lát mỏng này có thể xấp xỉ bằng diện tích mặt cắt \( S(x) \) nhân với độ dày \( dx \): \[ dV = S(x) \cdot dx \] 3. Tích phân để tính tổng thể tích: - Để tính tổng thể tích của toàn bộ phần vật thể B, ta tích phân thể tích của các lát mỏng này từ \( x = a \) đến \( x = b \): \[ V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx \] Do đó, thể tích của phần vật thể B được tính bởi công thức: \[ V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\int_{a}^{b} S(x) \, dx \] Câu 1. Để lập luận từng bước trong việc tìm hình chiếu của điểm \( A(1; -2; 0) \) lên mặt phẳng \( (P): 2x - 3y + z - 1 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 2x - 3y + z - 1 = 0 \). Từ đây, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (2, -3, 1) \). 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P) \): Đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -2, 0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2, -3, 1) \) sẽ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - 3t \\ z = t \end{cases} \] với \( t \) là tham số. 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng trên với mặt phẳng \( (P) \): Thay các phương trình tham số vào phương trình của mặt phẳng \( (P) \): \[ 2(1 + 2t) - 3(-2 - 3t) + t - 1 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 2 + 4t + 6 + 9t + t - 1 = 0 \\ 14t + 7 = 0 \\ 14t = -7 \\ t = -\frac{1}{2} \] 4. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (P) \): Thay \( t = -\frac{1}{2} \) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 1 + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = 0 \\ y = -2 - 3 \left( -\frac{1}{2} \right) = -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \\ z = -\frac{1}{2} \end{cases} \] Vậy tọa độ hình chiếu của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (P) \) là \( H \left( 0, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \). Kết luận: Tọa độ hình chiếu của điểm \( A(1; -2; 0) \) lên mặt phẳng \( (P): 2x - 3y + z - 1 = 0 \) là \( H \left( 0, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \).