giai ho vs ạ

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (3x + 1)^2 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = 3x + 1 \). Khi đó, \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{3} \, du \). Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \int (3x + 1)^2 \, dx = \int u^2 \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int u^2 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^2 \): \[ \frac{1}{3} \int u^2 \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{u^3}{9} + C \] Bước 4: Quay lại biến \( x \): \[ \frac{u^3}{9} + C = \frac{(3x + 1)^3}{9} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (3x + 1)^2 \) là: \[ \frac{(3x + 1)^3}{9} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{9}(3x + 1)^3 + C \] Câu 2: Để tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox, ta áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = \sin x \), \( a = 0 \), và \( b = \pi \). Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân: \[ f(x) = \sin x \] \[ a = 0 \] \[ b = \pi \] Bước 2: Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 \, dx \] Bước 3: Áp dụng công thức hạ bậc: \[ (\sin x)^2 = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \] Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] Bước 4: Tính tích phân từng phần: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx \right] \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = x \Big|_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi \] \[ \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) \Big|_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} [\sin(2\pi) - \sin(0)] = \frac{1}{2} [0 - 0] = 0 \] Bước 5: Kết hợp lại: \[ V = \pi \left[ \frac{1}{2} \pi - \frac{1}{2} \cdot 0 \right] = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2} \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là: \[ \boxed{\frac{\pi^2}{2}} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{\pi^2}{2}$. Câu 3: Trung vị của mẫu số liệu là giá trị ở vị trí thứ 15 và 16 (vì có 30 người nên trung vị nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 15 và 16). Ta thấy: - Khoảng [50;60) có 7 người. - Khoảng [60;70) có 16 người. Vậy, giá trị ở vị trí thứ 15 và 16 sẽ nằm trong khoảng [60;70). Do đó, trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [60;70). Đáp án đúng là: $A.~[60;70).$ Câu 4: Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A(4; -1; 3) \) và song song với đường thẳng \( BC \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( BC \): Vectơ \( \overrightarrow{BC} \) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1; 1 - 3; 5 - 1) = (-2; -2; 4) \] 2. Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \( A \) và song song với \( \overrightarrow{BC} \): Đường thẳng đi qua điểm \( A(4; -1; 3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{BC} = (-2; -2; 4) \) sẽ có phương trình chính tắc là: \[ \frac{x - 4}{-2} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{4} \] 3. So sánh với các phương án đã cho: - Phương án A: \( \left\{ \begin{array}{l} x = -2t \\ y = -1 + t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \) Đây là phương trình tham số, không phải phương trình chính tắc. - Phương án B: \( x - 2y + z = 0 \) Đây là phương trình mặt phẳng, không phải phương trình đường thẳng. - Phương án C: \( \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{-2} \) Đây là phương trình chính tắc nhưng vectơ chỉ phương không đúng. - Phương án D: \( \frac{x - 1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} \) Đây là phương trình chính tắc nhưng đi qua điểm \( (1; 0; 1) \), không phải điểm \( A(4; -1; 3) \). Do đó, phương án đúng là: \[ \boxed{\frac{x - 4}{-2} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 3}{4}} \] Câu 5: Để tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là đường thẳng $x = -\frac{d}{c}$, vì khi $x$ tiến đến $-\frac{d}{c}$ thì mẫu số $cx + d$ tiến đến 0, làm cho giá trị của hàm số tiến đến vô cùng. 2. Tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là đường thẳng $y = \frac{a}{c}$, vì khi $x$ tiến đến vô cùng, tỷ số $\frac{ax+b}{cx+d}$ sẽ tiến đến $\frac{a}{c}$. Trong bài toán này, từ đồ thị ta thấy: - Đồ thị tiếp cận đường thẳng $x = 1$ khi $x$ tiến đến 1 từ cả hai phía, do đó đường tiệm cận đứng là $x = 1$. - Đồ thị tiếp cận đường thẳng $y = 1$ khi $x$ tiến đến vô cùng, do đó đường tiệm cận ngang là $y = 1$. Vậy phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: - Tiệm cận đứng: $x = 1$ - Tiệm cận ngang: $y = 1$ Đáp án đúng là: $A.~x=1,~y=1.$ Câu 6: Để giải bất phương trình $\log_4(x-1) < 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_4(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_4(x-1) < 1$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_4(x-1) < \log_4(4) \] - Vì hàm lôgarit cơ sở 4 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x-1 < 4 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 5 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 5$), ta có: \[ 1 < x < 5 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (1; 5) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(1;5) \] Câu 7: Để tìm vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$. Trong đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = (A, B, C)$. Với mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$, ta có: - $A = 2$ - $B = -3$ - $C = 0$ Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (2, -3, 0)$. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{a} = (2, -3, 1)$ - B. $\overrightarrow{b} = (2, 1, -3)$ - C. $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$ - D. $\overrightarrow{d} = (3, 2, 0)$ Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$