Giúo mình với Phần II. Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn,đúng hoặc sai.,Câu 1: Trong không gian Oxyz , một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A 4;0;0 . Vùng phủ sóng,của thiết bị có bán kính bằng 4.,a) Điểm $M~4;2;2$ thuộc vùng phủ sóng.,b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu,có phương trình $x-2~^2+y^2+z^2=4.$,c) Một tấm sắt (sóng không đi qua được tấm sắt này) được đặt gần đó và nằm trên mặt,phẳng có phương trình $P:x+y-z=6$ sẽ chắn được sóng của thiết bị.,d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng P là hình tròn có bán kính bằng 4 .

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.

a) Điểm $M(4, 2, 2)$ thuộc vùng phủ sóng

Điều kiện để điểm $M$ thuộc vùng phủ sóng là khoảng cách từ điểm $A(4, 0, 0)$ đến điểm $M(4, 2, 2)$ phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính 4.

Tính khoảng cách giữa hai điểm:
$$
d(A, M) = \sqrt{(4 - 4)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Vì $2\sqrt{2} < 4$, nên điểm $M$ thuộc vùng phủ sóng.

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình $(x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 16$

Phương trình mặt cầu có tâm tại $A(4, 0, 0)$ và bán kính 4 là:
$$
(x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 16
$$

c) Một tấm sắt (sóng không đi qua được tấm sắt này) được đặt gần đó và nằm trên mặt phẳng có phương trình $P: x + y - z = 6$ sẽ chắn được sóng của thiết bị

Để kiểm tra xem tấm sắt có chắn được sóng hay không, chúng ta cần kiểm tra xem tâm của mặt cầu có nằm trong hoặc ngoài mặt phẳng $P$.

Thay tọa độ tâm $A(4, 0, 0)$ vào phương trình mặt phẳng:
$$
4 + 0 - 0 = 4 \neq 6
$$

Vì $4 \neq 6$, tâm của mặt cầu không nằm trên mặt phẳng $P$. Do đó, tấm sắt chắn được sóng của thiết bị.

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng $P$ là hình tròn có bán kính bằng 4

Khi mặt phẳng cắt mặt cầu, nó tạo ra một đường tròn. Bán kính của đường tròn này sẽ nhỏ hơn hoặc bằng bán kính của mặt cầu.

Để tính bán kính của đường tròn này, chúng ta cần tìm khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng $P$.

Khoảng cách từ điểm $A(4, 0, 0)$ đến mặt phẳng $P: x + y - z = 6$ là:
$$
d = \frac{|4 + 0 - 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}
$$

Bán kính của đường tròn là:
$$
r' = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{48}{3} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{44}{3}} = \frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{3}
$$

Do đó, vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng $P$ là hình tròn có bán kính $\frac{2\sqrt{33}}{3}$, không phải là 4.

Kết luận:
a) Đúng, điểm $M(4, 2, 2)$ thuộc vùng phủ sóng.
b) Đúng, tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình $(x - 4)^2 + y^2 + z^2 = 16$.
c) Đúng, tấm sắt chắn được sóng của thiết bị.
d) Sai, vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng $P$ là hình tròn có bán kính $\frac{2\sqrt{33}}{3}$, không phải là 4.