Câu 2.
a) Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là:
b) Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là:
c) Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số 1 lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là:
- Chữ số hàng trăm là 1:
- Chữ số hàng chục là 1:
- Chữ số hàng đơn vị là 1:
Tổng cộng:
d) Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là:
- Chọn chữ số hàng nghìn: 6 cách
- Chọn chữ số hàng trăm: 5 cách
- Chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị:
Tổng cộng:
Nhưng trong đó có các trường hợp hàng chục lớn hơn hàng đơn vị và ngược lại, nên ta chỉ lấy một nửa:
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số hàng chục lớn hơn hàng đơn vị là:
Đáp số:
a) 720
b) 120
c) 60
d) 90
Câu 3.
Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ áp dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn các viên bi theo yêu cầu.
Phần a) Chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng từ hộp
- Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh:
- Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ:
- Số cách chọn 2 bi vàng từ 4 bi vàng:
Tổng số cách chọn:
Phần b) Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng từ hộp
- Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh:
- Số cách chọn 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ:
- Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng:
Tổng số cách chọn:
Phần c) Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng từ hộp
- Số cách chọn 2 bi xanh từ 6 bi xanh:
- Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ:
- Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng:
Tổng số cách chọn:
Phần d) Có 600 cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp sao cho có đủ cả ba màu
Để có đủ cả ba màu trong 4 viên bi, chúng ta có thể có các trường hợp sau:
- 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi vàng
- 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi vàng
- 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi vàng
Ta đã tính số cách cho từng trường hợp ở trên:
- Trường hợp 1: 180 cách
- Trường hợp 2: 240 cách
- Trường hợp 3: 300 cách
Tổng số cách:
Nhưng theo đề bài, tổng số cách là 600, do đó có thể có sự sai sót hoặc hiểu lầm nào đó trong đề bài. Tuy nhiên, dựa trên các phép tính đã thực hiện, tổng số cách là 720.
Kết luận:
a) 180 cách
b) 240 cách
c) 300 cách
d) 720 cách
Câu 4.
a) Số cách xếp các học sinh của lớp 10A thành một hàng dọc là 25!.
- Đúng. Vì khi xếp các học sinh thành một hàng dọc, ta có thể coi đó là sắp xếp tất cả 25 học sinh vào 25 vị trí khác nhau, do đó số cách xếp là 25!.
b) Số cách chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm 5 bạn học sinh của lớp 10A là .
- Sai. Vì khi chọn một nhóm gồm 5 bạn học sinh, thứ tự của các bạn trong nhóm không quan trọng, nên ta cần sử dụng tổ hợp chứ không phải hoán vị. Số cách chọn là .
c) Số cách chọn một học sinh nam và một học sinh nữ để làm trưởng và phó lớp là .
- Sai. Vì khi chọn một học sinh nam và một học sinh nữ để làm trưởng và phó lớp, thứ tự của hai bạn này quan trọng (ai làm trưởng, ai làm phó). Do đó, ta cần sử dụng hoán vị. Số cách chọn là .
d) Số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong đó ít nhất có một học sinh nam là .
- Đúng. Vì số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh từ 25 học sinh là . Số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh từ 13 học sinh nữ là . Do đó, số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong đó ít nhất có một học sinh nam là .
Đáp số:
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
Câu 1.
Để sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi xung quanh một bàn tròn sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ, ta thực hiện các bước sau:
1. Sắp xếp 5 bạn nữ ngồi xung quanh bàn tròn:
- Số cách sắp xếp 5 bạn nữ ngồi xung quanh bàn tròn là cách.
2. Sắp xếp 5 bạn nam ngồi xen kẽ giữa các bạn nữ:
- Mỗi bạn nữ sẽ có một chỗ ngồi cố định, do đó mỗi bạn nam sẽ ngồi vào một trong 5 chỗ còn lại giữa các bạn nữ.
- Số cách sắp xếp 5 bạn nam vào 5 chỗ còn lại là cách.
3. Tính tổng số cách sắp xếp:
- Tổng số cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi xung quanh bàn tròn sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ là:
Vậy có 2880 cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi xung quanh một bàn tròn sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 2.
Để lập được số tự nhiên có 9 chữ số phân biệt từ tập sao cho các chữ số 1,2,3,4,5 xuất hiện theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải và chữ số 9 luôn đứng trước chữ số 1, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vị trí của các chữ số 1, 2, 3, 4, 5:
- Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 phải xuất hiện theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải. Do đó, chúng sẽ xuất hiện ở các vị trí liên tiếp trong số tự nhiên đó, nhưng theo thứ tự 5, 4, 3, 2, 1.
2. Xác định vị trí của chữ số 9:
- Chữ số 9 phải đứng trước chữ số 1. Vì vậy, chữ số 9 phải nằm ở một trong các vị trí trước 5 vị trí của các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
3. Xác định vị trí của các chữ số còn lại:
- Các chữ số còn lại là 6, 7, 8. Chúng có thể xuất hiện ở bất kỳ vị trí nào còn lại trong số tự nhiên đó.
4. Tính số cách sắp xếp:
- Đầu tiên, chọn 6 vị trí trong 9 vị trí cho các chữ số 9, 6, 7, 8 và 5 vị trí liên tiếp cho các chữ số 5, 4, 3, 2, 1. Số cách chọn 6 vị trí trong 9 vị trí là .
- Sau khi chọn 6 vị trí, trong đó có 1 vị trí cho chữ số 9 và 5 vị trí liên tiếp cho các chữ số 5, 4, 3, 2, 1, ta cần sắp xếp các chữ số 6, 7, 8 vào 3 vị trí còn lại. Số cách sắp xếp 3 chữ số này là .
Do đó, tổng số cách lập được số tự nhiên có 9 chữ số phân biệt thỏa mãn điều kiện là:
Vậy, có thể lập được 504 số tự nhiên có 9 chữ số phân biệt sao cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 xuất hiện theo thứ tự giảm dần từ trái qua phải và chữ số 9 luôn đứng trước chữ số 1.
Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Chọn tổ trưởng nam: Có 15 nam công nhân, nên có 15 cách chọn tổ trưởng nam.
2. Chọn tổ phó nam: Sau khi đã chọn tổ trưởng nam, còn lại 14 nam công nhân, nên có 14 cách chọn tổ phó nam.
3. Chọn 3 người còn lại: Số người còn lại trong nhóm là 13 nam + 5 nữ = 18 người. Chúng ta cần chọn 3 người từ 18 người này sao cho có ít nhất 1 nữ.
Ta sẽ tính số cách chọn 3 người từ 18 người và trừ đi số cách chọn 3 người đều là nam.
- Số cách chọn 3 người từ 18 người:
- Số cách chọn 3 người đều là nam từ 13 nam còn lại:
Số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nữ:
Tính toán cụ thể:
4. Tổng số cách lập tổ công tác:
5. Giá trị :
Vậy giá trị là 1113.
Câu 4.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm số cách chia 7 học sinh thành 3 nhóm:
- Một nhóm 3 học sinh.
- Hai nhóm mỗi nhóm 2 học sinh.
2. Tính số cách chia sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm:
- Xét trường hợp An và Bình thuộc nhóm 3 học sinh.
- Xét trường hợp An và Bình thuộc một trong hai nhóm 2 học sinh.
Bước 1: Tính tổng số cách chia 7 học sinh thành 3 nhóm
- Chọn 3 học sinh từ 7 học sinh để tạo nhóm 3 học sinh:
- Chọn 2 học sinh từ 4 học sinh còn lại để tạo nhóm 2 học sinh đầu tiên:
- Chọn 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại để tạo nhóm 2 học sinh cuối cùng:
Tuy nhiên, do hai nhóm 2 học sinh giống nhau nên chúng ta phải chia cho 2 để loại bỏ các trường hợp lặp lại.
Số cách chia 7 học sinh thành 3 nhóm là:
Bước 2: Tính số cách chia sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm
Trường hợp 1: An và Bình thuộc nhóm 3 học sinh
- Chọn thêm 1 học sinh từ 5 học sinh còn lại để hoàn thành nhóm 3 học sinh:
- Chọn 2 học sinh từ 4 học sinh còn lại để tạo nhóm 2 học sinh đầu tiên:
- Chọn 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại để tạo nhóm 2 học sinh cuối cùng:
Số cách chia trong trường hợp này là:
Trường hợp 2: An và Bình thuộc một trong hai nhóm 2 học sinh
- Chọn 1 nhóm 2 học sinh chứa An và Bình: 1 cách
- Chọn 2 học sinh từ 5 học sinh còn lại để tạo nhóm 2 học sinh khác:
- Chọn 3 học sinh từ 3 học sinh còn lại để tạo nhóm 3 học sinh:
Số cách chia trong trường hợp này là:
Tổng số cách chia sao cho An và Bình thuộc cùng một nhóm
Vậy, có 40 cách chia nhóm để An và Bình thuộc cùng một nhóm.