đúng sai……

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm đã cho: - \( f(\pi) = e^\pi - \sin(\pi) = e^\pi - 0 = e^\pi \) - \( f(0) = e^0 - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \) Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số: - \( f(x) = e^x - \sin x \) - Đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \) - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \) - Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = e^x - \cos x \] Phần c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\): - \( f'(x) = e^x - \cos x = 0 \) - \( e^x = \cos x \) Ta cần tìm nghiệm của phương trình \( e^x = \cos x \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\). Xét hàm \( g(x) = e^x - \cos x \): - \( g(0) = e^0 - \cos(0) = 1 - 1 = 0 \) - \( g\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\frac{\pi}{2}} - 0 > 0 \) Do đó, \( g(x) \) liên tục và tăng từ 0 đến \( e^{\frac{\pi}{2}} \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\). Vì vậy, phương trình \( e^x = \cos x \) chỉ có nghiệm duy nhất là \( x = 0 \). Phần d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\): - Ta đã biết \( f'(x) = e^x - \cos x \) - Trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\), \( f'(x) \geq 0 \) vì \( e^x \geq 1 \) và \( \cos x \leq 1 \). Do đó, \( f(x) \) là hàm số đồng biến trên đoạn này. Vì \( f(x) \) đồng biến trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\), giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) sẽ xảy ra tại điểm đầu của đoạn, tức là tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là 1. Kết luận: - \( f(\pi) = e^\pi \) - \( f(0) = 1 \) - Đạo hàm của hàm số là \( f'(x) = e^x - \cos x \) - Nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là \( x = 0 \) - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0, \frac{\pi}{2}]\) là 1.