giải giúp mình với Câu 2. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Biến cố A : "Người thứ nhất bắn trúng bia"; biến cố B :,"Người thứ hai bắn trúng bia". Biết $P(A)=0,8;P(B)=0,7.$ Khi đó:,a) A và B là biến cố độc lập.,b) ABB là bin cố:: cảả hai nưườiđều bắn trúng bia".,$c)~P(AB)=0,06.$,$d)~P(A\overline B)=0,14.$,Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , cạnh bên SA vuông,góc với đáy, $SA=a\sqrt3.$,$a)~(SAB)\bot(ABCD).$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $a^3\sqrt3.$,$c)~[S,BC,A]=60^0.$,d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt3}3.$,Câu 4. Cho hàm số $f(x)=(\frac13)^x.$,$a)~f(-2)=9.$,b) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=(0;+\infty).$,c) Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)27^{x^2}$ là $S=(-1;-\frac13).$,d) Phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m0.$,C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt2,$ biết $SA=a,SC=a\sqrt3$,M,N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD,SD . Góc giữa hai đường thẳng MN và SC,bao nhiêu độ?,Câu 2. Cho cái nêm hình lăng trụ đứng như hình vẽ

Question

giải giúp mình với Câu 2. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Biến cố A : "Người thứ nhất bắn trúng bia"; biến cố B :,"Người thứ hai bắn trúng bia". Biết $P(A)=0,8;P(B)=0,7.$ Khi đó:,a) A và B là biến cố độc lập.,b) ABB là bin cố:: cảả hai nưườiđều bắn trúng bia".,$c)~P(AB)=0,06.$,$d)~P(A\overline B)=0,14.$,Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , cạnh bên SA vuông,góc với đáy, $SA=a\sqrt3.$,$a)~(SAB)\bot(ABCD).$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $a^3\sqrt3.$,$c)~[S,BC,A]=60^0.$,d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt3}3.$,Câu 4. Cho hàm số $f(x)=(\frac13)^x.$,$a)~f(-2)=9.$,b) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=(0;+\infty).$,c) Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)>27^{x^2}$ là $S=(-1;-\frac13).$,d) Phương trình $f(x)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m>0.$,C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.,Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt2,$ biết $SA=a,SC=a\sqrt3$,M,N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD,SD . Góc giữa hai đường thẳng MN và SC,bao nhiêu độ?,Câu 2. Cho cái nêm hình lăng trụ đứng như hình vẽ

Accepted Answer

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một. a) A và B là biến cố độc lập: - Biến cố A và B là độc lập nếu $P(AB) = P(A) \times P(B)$. - Ta có $P(A) = 0,8$ và $P(B) = 0,7$. - Tính $P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,7 = 0,56$. - Do đó, $P(AB) = 0,56$. Vậy A và B là biến cố độc lập. b) AB là biến cố: "Cả hai người đều bắn trúng bia": - Biến cố AB là biến cố giao của A và B, tức là cả hai người đều bắn trúng bia. - Ta đã tính $P(AB) = 0,56$ ở trên. c) $P(AB) = 0,06$: - Chúng ta đã tính $P(AB) = 0,56$, do đó $P(AB) = 0,06$ là sai. d) $P(A\overline{B}) = 0,14$: - Biến cố $\overline{B}$ là biến cố "Người thứ hai không bắn trúng bia". - Ta có $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3$. - Biến cố $A\overline{B}$ là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia và người thứ hai không bắn trúng bia". - Vì A và B là độc lập, nên $P(A\overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) = 0,8 \times 0,3 = 0,24$. - Do đó, $P(A\overline{B}) = 0,24$, không phải là 0,14. Kết luận: a) Đúng, vì A và B là biến cố độc lập. b) Đúng, vì AB là biến cố "Cả hai người đều bắn trúng bia". c) Sai, vì $P(AB) = 0,56$. d) Sai, vì $P(A\overline{B}) = 0,24$. Câu 3. a) Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA vuông góc với AB. Mặt khác, ABCD là hình vuông nên AB vuông góc với AD. Từ đó suy ra AB vuông góc với mặt phẳng (SAD), do đó (SAB) vuông góc với (ABCD). b) Diện tích đáy ABCD là $a^2$. Chiều cao SA là $a\sqrt3$. Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $$ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt3 = \frac{a^3\sqrt3}{3} $$ c) Ta có $[S,BC,A] = [S,AB,C]$. Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên tam giác SAB vuông tại A. Mặt khác, tam giác ABC cũng vuông tại B. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng SA và AB, tức là góc SAB. Vì SA = $a\sqrt3$ và AB = a, ta có: $$ \tan(SAB) = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt3}{a} = \sqrt3 $$ Do đó, góc SAB là $60^\circ$, vậy $[S,BC,A] = 60^\circ$. d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng SC. Ta có thể tính khoảng cách này bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể sử dụng tính chất của hình chóp đều để dễ dàng hơn. Vì SA vuông góc với đáy và ABCD là hình vuông, ta có thể thấy rằng khoảng cách từ A đến (SCD) sẽ là: $$ d = \frac{a\sqrt3}{3} $$ Đáp số: a) Đúng vì (SAB) vuông góc với (ABCD). b) Đúng vì thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3\sqrt3}{3}$. c) Đúng vì góc $[S,BC,A]$ là $60^\circ$. d) Đúng vì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là $\frac{a\sqrt3}{3}$. Câu 4. a) Ta có: $$ f(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 $$ Vậy $f(-2) = 9$ là đúng. b) Hàm số $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ là hàm số mũ, do đó tập xác định của nó là $\mathbb{R}$, tức là $D = (-\infty; +\infty)$. Vậy $D = (0; +\infty)$ là sai. c) Ta có: $$ f(x) > 27^{x^2} $$ $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x > (3^3)^{x^2} $$ $$ \left(\frac{1}{3}\right)^x > 3^{3x^2} $$ $$ 3^{-x} > 3^{3x^2} $$ Do cơ số là cùng một số lớn hơn 1, ta so sánh các mũ: $$ -x > 3x^2 $$ $$ 3x^2 + x < 0 $$ $$ x(3x + 1) < 0 $$ Giải bất phương trình này, ta có: $$ x \in \left(-\frac{1}{3}; 0\right) $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f(x) > 27^{x^2}$ là $S = \left(-\frac{1}{3}; 0\right)$, không phải là $S = (-1; -\frac{1}{3})$. Do đó, c) là sai. d) Phương trình $f(x) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m > 0$ vì hàm số $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ luôn dương và có giá trị từ 0 đến vô cùng (không bao gồm 0). Vậy d) là đúng. C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. 2. Tìm tọa độ của các điểm M và N. 3. Xác định vectơ MN và SC. 4. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SC. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. - Đặt A(0, 0, 0), B(a√2, 0, 0), C(a√2, a√2, 0), D(0, a√2, 0). - Vì SA = a và SC = a√3, ta có thể đặt S(0, 0, a). Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm M và N. - M là trung điểm của AD, nên M có tọa độ $\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, 0\right)$. - N là trung điểm của SD, nên N có tọa độ $\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Bước 3: Xác định vectơ MN và SC. - Vectơ MN = N - M = $\left(0, \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a}{2} - 0\right) = (0, 0, \frac{a}{2})$. - Vectơ SC = C - S = $(a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, 0) - (0, 0, a) = (a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, -a)$. Bước 4: Tính góc giữa hai đường thẳng MN và SC. - Tích vô hướng của MN và SC: $$ \vec{MN} \cdot \vec{SC} = (0, 0, \frac{a}{2}) \cdot (a\sqrt{2}, a\sqrt{2}, -a) = 0 + 0 + \frac{a}{2} \cdot (-a) = -\frac{a^2}{2} $$ - Độ dài của vectơ MN: $$ |\vec{MN}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a}{2} $$ - Độ dài của vectơ SC: $$ |\vec{SC}| = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} $$ - Góc giữa hai đường thẳng MN và SC: $$ \cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{SC}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{SC}|} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a}{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{5}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$ $$ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và SC là $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$. Đáp số: $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$ Câu 2. Để giải quyết bài toán về thể tích của cái nêm hình lăng trụ đứng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích đáy của lăng trụ: - Diện tích đáy của lăng trụ đứng là diện tích của tam giác ABC. - Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC $$ - Thay các giá trị đã cho vào công thức: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 $$ 2. Xác định chiều cao của lăng trụ: - Chiều cao của lăng trụ đứng là khoảng cách giữa hai đáy, tức là độ dài đoạn thẳng AD. - Theo đề bài, AD = 10 cm. 3. Tính thể tích của lăng trụ đứng: - Thể tích của lăng trụ đứng được tính bằng công thức: $$ V = S_{đáy} \times h $$ - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: $$ V = 24 \times 10 = 240 \text{ cm}^3 $$ Vậy thể tích của cái nêm hình lăng trụ đứng là 240 cm³.