Giúp mình với nha

Câu 1. Để kiểm tra từng khẳng định, chúng ta sẽ xét từng trường hợp một. A. Nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì $F(x)=G(x)$. - Đây là khẳng định sai vì nếu $F(x)$ và $G(x)$ đều là nguyên hàm của $f(x)$, thì $F(x) = G(x) + C$, trong đó $C$ là hằng số tùy ý. B. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$. - Đây là khẳng định đúng vì tích phân của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x| + C$. C. $\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$. - Đây là khẳng định đúng vì tính chất tuyến tính của tích phân cho phép chúng ta tách tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số thành tổng hoặc hiệu của các tích phân riêng lẻ. D. $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \frac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}$. - Đây là khẳng định sai vì tích phân của thương của hai hàm số không phải là thương của các tích phân riêng lẻ của chúng. Vậy khẳng định đúng là: B. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$. Đáp án: B. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$. Câu 2. Để tính $\int^5_3 f(x) dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^b_a f(x) dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int^5_3 f(x) dx = F(5) - F(3) \] Ta biết rằng $F(3) = -7$ và $F(5) = 8$. Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được: \[ \int^5_3 f(x) dx = 8 - (-7) = 8 + 7 = 15 \] Vậy đáp án đúng là B. 15. Câu 3. Để tìm nguyên hàm của $\int \frac{-10}{\cos^2 x} \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Nhận biết dạng nguyên hàm: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$. Do đó, biểu thức cần tính nguyên hàm trở thành: \[ \int \frac{-10}{\cos^2 x} \, dx = -10 \int \sec^2 x \, dx. \] 2. Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm của $\sec^2 x$ là $\tan x$. Do đó: \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C. \] 3. Nhân với hằng số: Nhân kết quả trên với -10, ta có: \[ -10 \int \sec^2 x \, dx = -10 \tan x + C. \] Vậy nguyên hàm của $\int \frac{-10}{\cos^2 x} \, dx$ là: \[ -10 \tan x + C. \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~ -10 \tan x + C. \] Câu 4. Để tính tích phân $\int^3_1(x^2+4x+1)dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 + 4x + 1$. Nguyên hàm của $x^2$ là $\frac{x^3}{3}$. Nguyên hàm của $4x$ là $2x^2$. Nguyên hàm của $1$ là $x$. Vậy nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân: \[ \int^3_1(x^2+4x+1)dx = F(3) - F(1) \] Bước 3: Tính $F(3)$ và $F(1)$. \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 3 = \frac{27}{3} + 2 \cdot 9 + 3 = 9 + 18 + 3 = 30 \] \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 2 + 1 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3} \] Bước 4: Tính hiệu $F(3) - F(1)$. \[ \int^3_1(x^2+4x+1)dx = 30 - \frac{10}{3} = \frac{90}{3} - \frac{10}{3} = \frac{80}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{80}{3}} \] Câu 5. Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = g(x) \), \( y = 0 \), \( x = 3 \), và \( x = 4 \), ta cần tính tích phân của hàm \( g(x) \) từ \( x = 3 \) đến \( x = 4 \). Diện tích S được tính bằng công thức: \[ S = \int_{3}^{4} |g(x)| \, dx \] Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, nên ta cần lấy giá trị tuyệt đối của \( g(x) \) để đảm bảo rằng tích phân luôn cho kết quả dương, kể cả khi \( g(x) \) có thể nhận giá trị âm trong khoảng \( [3, 4] \). Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~S = \int_{3}^{4} |g(x)| \, dx \] Đáp án: D. \( S = \int_{3}^{4} |g(x)| \, dx \) Câu 6. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành, ta cần tính diện tích của hai phần riêng biệt: phần trên trục hoành và phần dưới trục hoành. 1. Diện tích phần trên trục hoành từ $x = -5$ đến $x = 0$: \[ S_1 = \int_{-5}^{0} f(x) \, dx \] 2. Diện tích phần dưới trục hoành từ $x = 0$ đến $x = 5$: \[ S_2 = -\int_{0}^{5} f(x) \, dx \] (Chú ý rằng tích phân từ $0$ đến $5$ của $f(x)$ sẽ cho kết quả âm vì $f(x)$ nằm dưới trục hoành, do đó ta cần lấy giá trị tuyệt đối của nó để tính diện tích.) Diện tích tổng cộng $S$ sẽ là tổng của hai diện tích này: \[ S = S_1 + |S_2| = \int_{-5}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{5} f(x) \, dx \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~S = \int_{-5}^{0} f(x) \, dx - \int_{0}^{5} f(x) \, dx \] Câu 7. Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = -2x^2 - 6x$, trục hoành và các đường thẳng $x = -10$ và $x = -7$ quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giới hạn trên là $x = -7$. - Giới hạn dưới là $x = -10$. 2. Tính thể tích khối tròn xoay: - Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quay quanh trục Ox được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Ở đây, $f(x) = -2x^2 - 6x$. Do đó, ta có: \[ V = \pi \int_{-10}^{-7} (-2x^2 - 6x)^2 \, dx \] 3. Tính tích phân: - Đầu tiên, ta tính $(f(x))^2$: \[ (-2x^2 - 6x)^2 = 4x^4 + 24x^3 + 36x^2 \] - Tiếp theo, ta tính tích phân: \[ \int_{-10}^{-7} (4x^4 + 24x^3 + 36x^2) \, dx \] - Ta chia tích phân thành các phần riêng lẻ: \[ \int_{-10}^{-7} 4x^4 \, dx + \int_{-10}^{-7} 24x^3 \, dx + \int_{-10}^{-7} 36x^2 \, dx \] - Tính từng phần: \[ \int_{-10}^{-7} 4x^4 \, dx = 4 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-10}^{-7} = 4 \left( \frac{(-7)^5}{5} - \frac{(-10)^5}{5} \right) \] \[ \int_{-10}^{-7} 24x^3 \, dx = 24 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-10}^{-7} = 24 \left( \frac{(-7)^4}{4} - \frac{(-10)^4}{4} \right) \] \[ \int_{-10}^{-7} 36x^2 \, dx = 36 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-10}^{-7} = 36 \left( \frac{(-7)^3}{3} - \frac{(-10)^3}{3} \right) \] 4. Thực hiện các phép tính cụ thể: - \[ 4 \left( \frac{(-7)^5}{5} - \frac{(-10)^5}{5} \right) = 4 \left( \frac{-16807}{5} - \frac{-100000}{5} \right) = 4 \left( \frac{83193}{5} \right) = \frac{332772}{5} \] - \[ 24 \left( \frac{(-7)^4}{4} - \frac{(-10)^4}{4} \right) = 24 \left( \frac{2401}{4} - \frac{10000}{4} \right) = 24 \left( \frac{-7599}{4} \right) = -45594 \] - \[ 36 \left( \frac{(-7)^3}{3} - \frac{(-10)^3}{3} \right) = 36 \left( \frac{-343}{3} - \frac{-1000}{3} \right) = 36 \left( \frac{657}{3} \right) = 7884 \] 5. Tổng hợp kết quả: - \[ \int_{-10}^{-7} (4x^4 + 24x^3 + 36x^2) \, dx = \frac{332772}{5} - 45594 + 7884 = \frac{332772}{5} - \frac{227970}{5} = \frac{104802}{5} \] 6. Nhân với $\pi$: - \[ V = \pi \cdot \frac{104802}{5} = \frac{104802}{5}\pi \] Do đó, thể tích khối tròn xoay tạo thành là $\frac{104802}{5}\pi$. Tuy nhiên, đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Hãy kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo chính xác. Sau khi kiểm tra lại, nếu vẫn không tìm thấy lỗi, có thể do lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính quãng đường mà ô tô đã đi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. 1. Xác định thời điểm dừng: - Ô tô dừng hẳn khi vận tốc \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \[ 9 - 3t = 0 \] - Giải phương trình: \[ 3t = 9 \implies t = 3 \text{ (giây)} \] 2. Tính quãng đường đã đi: - Quãng đường \( s \) mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là tích phân của vận tốc theo thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 3 \): \[ s = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} (9 - 3t) \, dt \] - Tính tích phân: \[ s = \left[ 9t - \frac{3t^2}{2} \right]_{0}^{3} \] - Thay giới hạn vào: \[ s = \left( 9 \cdot 3 - \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( 9 \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ s = \left( 27 - \frac{27}{2} \right) - 0 \] \[ s = 27 - \frac{27}{2} = \frac{54}{2} - \frac{27}{2} = \frac{27}{2} \text{ (m)} \] Vậy, từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được $\frac{27}{2}$ mét. Đáp án đúng là: $B.~\frac{27}{2}(m)$. Câu 9. Để viết phương trình mặt phẳng (B) đi qua điểm $M(-2;-3;-7)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{BG}$ làm véctơ pháp tuyến, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BG}$: - Tọa độ của điểm $B$ là $(2, 7, -1)$. - Tọa độ của điểm $G$ là $(4, 3, 1)$. - Vectơ $\overrightarrow{BG}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{BG} = (4 - 2, 3 - 7, 1 - (-1)) = (2, -4, 2) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng (B): - Mặt phẳng (B) đi qua điểm $M(-2, -3, -7)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BG} = (2, -4, 2)$. - Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 2(x + 2) - 4(y + 3) + 2(z + 7) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ 2x + 4 - 4y - 12 + 2z + 14 = 0 \] \[ 2x - 4y + 2z + 6 = 0 \] \[ x - 2y + z + 3 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (B) là: \[ x - 2y + z + 3 = 0 \] Đáp án đúng là: B. $x - 2y + z + 3 = 0$. Câu 10. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau. Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \[ (\alpha): 7 - 6y = 0 \] Hay viết lại thành: \[ y = \frac{7}{6} \] Mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình: \[ (\beta): -8x + 9z - 4 = 0 \] Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng - Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (0, -6, 0)$. - Mặt phẳng $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (-8, 0, 9)$. Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương: \[ \vec{n}_\alpha = k \cdot \vec{n}_\beta \] Ta thấy rằng $\vec{n}_\alpha = (0, -6, 0)$ và $\vec{n}_\beta = (-8, 0, 9)$ không cùng phương vì không tồn tại số thực $k$ sao cho: \[ (0, -6, 0) = k \cdot (-8, 0, 9) \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện vuông góc Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = (0, -6, 0) \cdot (-8, 0, 9) = 0 \cdot (-8) + (-6) \cdot 0 + 0 \cdot 9 = 0 \] Vậy hai mặt phẳng vuông góc. Kết luận Do hai mặt phẳng vuông góc nên khẳng định đúng là: \[ A.~(\alpha) \text{ vuông góc } (\beta) \] Câu 11. Để tính khoảng cách từ điểm \( I(7;5;1) \) đến mặt phẳng \( (Q): x + 2y + 6z - 2 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = 2 \) - \( c = 6 \) - \( d = -2 \) - \( x_0 = 7 \) - \( y_0 = 5 \) - \( z_0 = 1 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 7 + 2 \cdot 5 + 6 \cdot 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 6^2}} \] \[ d = \frac{|7 + 10 + 6 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 36}} \] \[ d = \frac{|21|}{\sqrt{41}} \] \[ d = \frac{21}{\sqrt{41}} \] \[ d = \frac{21\sqrt{41}}{41} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( I \) đến mặt phẳng \( (Q) \) là \( \frac{21\sqrt{41}}{41} \). Đáp án đúng là: \( A.~\frac{21\sqrt{41}}{41} \). Câu 12. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta dựa vào phương trình tham số của đường thẳng đã cho. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x+4}{8} = \frac{y-7}{-9} = \frac{z-4}{1} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M_0(-4, 7, 4)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (8, -9, 1)\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec{u} = (8, -9, 1)\). Đáp án: \(\vec{u} = (8, -9, 1)\).