Y=(2x-1)x^2+2

Question

Y=(2x-1)x^2+2

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Biểu thức $ Y = (2x - 1)x^2 + 2 $ là một đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. Vậy ĐKXĐ là $ x \in \mathbb{R} $.

2. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN):
   - Ta xét hàm số $ f(x) = (2x - 1)x^2 + 2 $.
   - Để tìm GTLN và GTNN, ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm các điểm cực trị.

3. Tính đạo hàm:
   - $ f'(x) = \frac{d}{dx}[(2x - 1)x^2 + 2] $
   - Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích và tổng:
     $$
     f'(x) = (2x - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x - 1)
     $$
     $$
     f'(x) = (2x - 1) \cdot 2x + x^2 \cdot 2
     $$
     $$
     f'(x) = 2x(2x - 1) + 2x^2
     $$
     $$
     f'(x) = 4x^2 - 2x + 2x^2
     $$
     $$
     f'(x) = 6x^2 - 2x
     $$

4. Tìm các điểm cực trị:
   - Giải phương trình $ f'(x) = 0 $:
     $$
     6x^2 - 2x = 0
     $$
     $$
     2x(3x - 1) = 0
     $$
     $$
     x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{3}
     $$

5. Kiểm tra các điểm cực trị:
   - Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:
     $$
     f(0) = (2 \cdot 0 - 1) \cdot 0^2 + 2 = 2
     $$
     $$
     f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(2 \cdot \frac{1}{3} - 1\right) \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 2 = \left(\frac{2}{3} - 1\right) \cdot \frac{1}{9} + 2 = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{9} + 2 = -\frac{1}{27} + 2 = \frac{53}{27}
     $$

6. Kết luận:
   - Giá trị lớn nhất của hàm số là $ \frac{53}{27} $, đạt được khi $ x = \frac{1}{3} $.
   - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2 $, đạt được khi $ x = 0 $.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là $ \frac{53}{27} $, đạt được khi $ x = \frac{1}{3} $. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2 $, đạt được khi $ x = 0 $.