Cho tam giác ABC vuông ở c có góc B bằng 30 độ tia phân giác của A cắt BC ở e kẻ EK vuông góc AB (K thuộc AB )Chứng minh a,AC=AK và AE vuông góc CK b, tam giác AKE=tam giác BKE c,EBAC

Question

Cho tam giác ABC vuông ở c có góc B bằng 30 độ tia phân giác của A cắt BC ở e kẻ EK vuông góc AB (K thuộc AB )Chứng minh           a,AC=AK và AE vuông góc CK                                  b, tam giác AKE=tam giác BKE                               c,EB>AC

Accepted Answer

{"userId":5407520,"userName":"Minh Khanh Nguyên"}

a) Chứng minh $AC = AK$ và $AE \perp CK$

Xét $ riangle ABE$ có $\widehat{BAE} = \widehat{EAC} = \widehat{BAK}$ (do AE là tia phân giác của $\widehat{BAC}$).

$\widehat{AEK} = 90^\circ - \widehat{BAK}$

$\widehat{AEC} = 90^\circ - \widehat{EAC}$

Suy ra $\widehat{AEK} = \widehat{AEC}$.

Xét $ riangle AKE$ và $ riangle ACE$ có

$\widehat{KAE} = \widehat{CAE}$ (AE là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

$AE$ chung

$\widehat{AEK} = \widehat{AEC}$ (chứng minh trên)

Suy ra $ riangle AKE = riangle ACE$ (g-c-g).

Do đó $AC = AK$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $CK$.

$ riangle AKI = riangle ACI$ (c-g-c)

$AI$ chung

$AK = AC$ (chứng minh trên)

$\widehat{KAI} = \widehat{CAI}$ (do AE là tia phân giác của $\widehat{BAC}$)

Suy ra $ riangle AKI = riangle ACI$ (c-g-c)

Do đó $\widehat{AKI} = \widehat{ACI} = 90^\circ$.

Suy ra $AE \perp CK$ tại $I$.

b) Chứng minh $ riangle AKE = riangle BKE$

Xét $ riangle AKE$ vuông tại $K$.

Xét $ riangle BKE$ vuông tại $K$.

Ta có $KE$ là cạnh chung.

$\widehat{BAE} = \frac{90^\circ - 30^\circ}{2} = 30^\circ$

Xét $ riangle AKE$ có $\widehat{EAK} = 30^\circ$.

$\widehat{AEK} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Xét $ riangle ABE$ có $\widehat{ABE} = 30^\circ$ và $\widehat{BAE} = 30^\circ$.

$ riangle ABE$ cân tại $E$ hay $AE = BE$.

Xét $ riangle AKE$ và $ riangle BKE$ có

$\widehat{AKE} = \widehat{BKE} = 90^\circ$

$KE$ chung

$AE = BE$ (chứng minh trên)

Suy ra $ riangle AKE = riangle BKE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

c) Chứng minh $EB > AC$

Ta có $ riangle AKE = riangle ACE$ (chứng minh trên) nên $AE = BE > AC = AK$.

Vậy $EB > AC$.