cho hình chóp s.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a căn 2 tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB

Question

Accepted Answer

Để tìm số đo của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $SAB$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao điểm và đường vuông góc:
   - Gọi $H$ là trung điểm của $AB$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $H$ cũng là trung điểm của $AB$.
   - Ta có $SA \perp (ABCD)$, do đó $SA \perp AB$.

2. Tìm đường vuông góc từ $C$ xuống $SAB$:
   - Xét tam giác $SAC$, ta thấy $SA \perp AC$ vì $SA \perp (ABCD)$ và $AC \subset (ABCD)$.
   - Do đó, $SA \perp AC$. 
   - Mặt khác, $AC \perp AB$ vì $ABCD$ là hình vuông.
   - Kết hợp hai điều trên, ta có $AC \perp (SAB)$.

3. Tính khoảng cách từ $C$ đến $SAB$:
   - Khoảng cách từ $C$ đến $SAB$ chính là độ dài đoạn thẳng $CH$, trong đó $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $SAB$.

4. Tính độ dài $CH$:
   - $CH$ là đường cao hạ từ $C$ xuống $AB$ trong tam giác $ABC$.
   - Độ dài $CH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì $H$ là trung điểm của $AB$).

5. Tính độ dài $SC$:
   - $SC$ là đường chéo của hình chữ nhật $SACD$.
   - $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

6. Tính góc giữa $SC$ và $SAB$:
   - Gọi góc giữa $SC$ và $SAB$ là $\theta$.
   - Ta có $\sin \theta = \frac{CH}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

7. Kết luận:
   - Số đo của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $SAB$ là $\theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6}}{6} \right)$.

Đáp số: $\theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6}}{6} \right)$.