Giai giup toi

Câu 14. Để tính thể tích khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Vì khối chóp S.ABC là chóp tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng \(a\). - Diện tích tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. Tính chiều cao SO của khối chóp: - Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có SO là đường cao của khối chóp từ đỉnh S vuông góc với đáy ABC. - Trong tam giác đều ABC, đường cao hạ từ đỉnh đến cạnh đáy chia tam giác thành hai tam giác vuông cân, mỗi cạnh đáy là \(\frac{a}{2}\). - Chiều cao của tam giác đều ABC là: \[ h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] - Điểm O nằm ở trung điểm của đường cao này, do đó khoảng cách từ O đến một đỉnh của tam giác đáy là: \[ OA = \frac{h_{ABC}}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} a}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} a \] - Trong tam giác SOA, SA là cạnh bên của chóp và bằng 2a, OA đã tính ở trên. Áp dụng định lý Pythagoras để tìm SO: \[ SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left( \frac{\sqrt{3}}{6} a \right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{3a^2}{36}} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{12}} = \sqrt{\frac{48a^2 - a^2}{12}} = \sqrt{\frac{47a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{47}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{141}}{6} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SO \] - Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times \frac{a\sqrt{141}}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{a^3 \sqrt{141}}{6} = \frac{a^3 \sqrt{423}}{72} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là: \[ V = \frac{a^3 \sqrt{423}}{72} \] Câu 15. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Cạnh đáy của hình chóp tam giác đều là \( a \). - Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là \( \alpha \). 2. Xác định tâm của đáy: - Vì đáy là tam giác đều, tâm của đáy là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh của tam giác đều xuống đáy. 3. Xác định chiều cao của hình chóp: - Gọi \( O \) là tâm của đáy tam giác đều, \( H \) là đỉnh của hình chóp, và \( A \) là một đỉnh của đáy. - Ta có \( OA = \frac{a\sqrt{3}}{3} \) (vì tâm của tam giác đều chia đường cao thành tỉ lệ \( \frac{1}{3} : \frac{2}{3} \)). - Gọi \( HO \) là chiều cao của hình chóp, ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{HO}{OA} \] \[ HO = OA \cdot \tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\alpha) \] 4. Tính diện tích đáy: - Diện tích đáy \( S_{đáy} \) của tam giác đều là: \[ S_{đáy} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 5. Tính diện tích toàn phần: - Diện tích xung quanh \( S_{xq} \) của hình chóp tam giác đều là 3 lần diện tích của một mặt bên. - Gọi \( S_{1} \) là diện tích của một mặt bên, ta có: \[ S_{1} = \frac{1}{2} \times a \times HA \] - Trong đó \( HA \) là chiều cao của mặt bên, tính bằng: \[ HA = \sqrt{HO^2 + OA^2} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \cdot \tan(\alpha) \right)^2 + \left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)^2} \] \[ HA = \frac{a\sqrt{3}}{3} \sqrt{\tan^2(\alpha) + 1} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \sec(\alpha) \] - Vậy diện tích của một mặt bên là: \[ S_{1} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{3} \sec(\alpha) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{6} \sec(\alpha) \] - Diện tích xung quanh là: \[ S_{xq} = 3 \times S_{1} = 3 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{6} \sec(\alpha) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \sec(\alpha) \] - Diện tích toàn phần \( S_{tp} \) là tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh: \[ S_{tp} = S_{đáy} + S_{xq} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \sec(\alpha) \] \[ S_{tp} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} (1 + 2 \sec(\alpha)) \] 6. Kết luận: - Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều là: \[ S_{tp} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} (1 + 2 \sec(\alpha)) \]