Giai dap cau hoi

Câu 1. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x - \frac{2}{x^2} + \sin x \), ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong hàm số này. 1. Nguyên hàm của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_1 \] 2. Nguyên hàm của \( -\frac{2}{x^2} \): \[ \int -\frac{2}{x^2} \, dx = -2 \int x^{-2} \, dx = -2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = \frac{2}{x} + C_2 \] 3. Nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int \left( e^x - \frac{2}{x^2} + \sin x \right) \, dx = e^x + \frac{2}{x} - \cos x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả các hằng số \( C_1, C_2, C_3 \). Do đó, tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x - \frac{2}{x^2} + \sin x \) là: \[ e^x + \frac{2}{x} - \cos x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~e^x + \frac{2}{x} - \cos x + C \] Câu 2. Diện tích S của hình phẳng được tô đậm là: \[ S = \left| \int_{-2}^{0} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| \] Ta biết rằng: \[ \int_{-2}^{1} f(x) \, dx = a \] \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = b \] Từ đó suy ra: \[ \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \] Nhưng ta chưa biết giá trị của $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$. Do đó, ta sẽ tính diện tích S dựa trên các thông tin đã cho. Diện tích S của hình phẳng được tô đậm là: \[ S = \left| \int_{-2}^{0} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| \] Biết rằng: \[ \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = a - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \] \[ \int_{0}^{2} f(x) \, dx = b \] Do đó: \[ S = \left| a - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \right| + |b| \] Vì $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ là một giá trị dương (do hàm số $f(x)$ dương trong khoảng từ 0 đến 1), ta có: \[ S = |a - \text{(giá trị dương)}| + b \] Vậy diện tích S của hình phẳng được tô đậm là: \[ S = a - b \] Đáp án đúng là: D. \( S = a - b \). Câu 3. Để tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \), \( x = -10 \), và \( x = 10 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm giao của các đường: - Đường \( y = x^2 - 2x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x \) sao cho \( x^2 - 2x = 0 \). - Giải phương trình \( x^2 - 2x = 0 \): \[ x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] - Vậy, các điểm giao của đường \( y = x^2 - 2x \) với trục hoành là \( (0, 0) \) và \( (2, 0) \). 2. Phân chia miền hình phẳng thành các phần dễ tính toán: - Miền hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), \( y = 0 \), \( x = -10 \), và \( x = 10 \) có thể được chia thành hai phần: - Phần từ \( x = -10 \) đến \( x = 0 \). - Phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). - Phần từ \( x = 2 \) đến \( x = 10 \). 3. Tính diện tích từng phần: - Diện tích phần từ \( x = -10 \) đến \( x = 0 \): \[ S_1 = \int_{-10}^{0} (x^2 - 2x) \, dx. \] Tính tích phân: \[ S_1 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-10}^{0} = \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{-1000}{3} - 100 \right) = \frac{1000}{3} + 100 = \frac{1000}{3} + \frac{300}{3} = \frac{1300}{3}. \] - Diện tích phần từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ S_2 = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) \, dx. \] Tính tích phân: \[ S_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( 0 - 0 \right) = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}. \] Vì diện tích là giá trị tuyệt đối, nên: \[ |S_2| = \frac{4}{3}. \] - Diện tích phần từ \( x = 2 \) đến \( x = 10 \): \[ S_3 = \int_{2}^{10} (x^2 - 2x) \, dx. \] Tính tích phân: \[ S_3 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{2}^{10} = \left( \frac{1000}{3} - 100 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = \left( \frac{1000}{3} - \frac{300}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) = \frac{700}{3} + \frac{4}{3} = \frac{704}{3}. \] 4. Tổng diện tích toàn bộ miền hình phẳng: \[ S = S_1 + |S_2| + S_3 = \frac{1300}{3} + \frac{4}{3} + \frac{704}{3} = \frac{2008}{3}. \] Vậy diện tích miền hình phẳng là \( \frac{2008}{3} \). Đáp án đúng là: \( C.~S = \frac{2008}{3} \). Câu 4. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$, $y = x + 2$, và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường cong: - Giải phương trình $x^2 = x + 2$: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] \[ (x - 2)(x + 1) = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Tuy nhiên, trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = 1$, chỉ có giao điểm duy nhất là $x = 1$. 2. Xác định diện tích cần tính: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên là diện tích giữa hai đường cong từ $x = 0$ đến $x = 1$. Ta sẽ tính diện tích này bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số lớn hơn và hàm số nhỏ hơn trong khoảng đó. 3. Tính diện tích: - Hàm số lớn hơn là $y = x + 2$. - Hàm số nhỏ hơn là $y = x^2$. - Diện tích $S$ được tính bằng công thức: \[ S = \int_{0}^{1} [(x + 2) - x^2] \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ S = \int_{0}^{1} (x + 2 - x^2) \, dx \] \[ S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ S = \left( \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \right) - 0 \] \[ S = \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \] \[ S = \frac{3}{6} + \frac{12}{6} - \frac{2}{6} \] \[ S = \frac{13}{6} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2$, $y = x + 2$, và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ là $\boxed{\frac{13}{6}}$. Câu 5. Thể tích của vật thể có thể tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện qua khoảng từ $x = 0$ đến $x = 3$. Diện tích thiết diện là một hình vuông với cạnh là $\sqrt{9 - x^2}$. Diện tích thiết diện là: \[ S(x) = (\sqrt{9 - x^2})^2 = 9 - x^2 \] Thể tích của vật thể là: \[ V = \int_{0}^{3} S(x) \, dx = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ V = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \] \[ V = \left( 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ V = \left( 27 - \frac{27}{3} \right) - 0 \] \[ V = 27 - 9 \] \[ V = 18 \] Vậy thể tích của vật thể là: \[ V = 18 \] Đáp án đúng là: D. \( V = 18 \). Câu 6. Trước tiên, ta xác định các biến cố liên quan: - Biến cố A: Xuất hiện mặt 2 chấm. - Biến cố B: Xuất hiện mặt chẵn. Biến cố A1B là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm hoặc mặt chẵn. Ta xét các khả năng khi gieo xúc xắc: - Mặt 1 chấm: Không thuộc A và B. - Mặt 2 chấm: Thuộc A và B. - Mặt 3 chấm: Không thuộc A và B. - Mặt 4 chấm: Không thuộc A nhưng thuộc B. - Mặt 5 chấm: Không thuộc A và B. - Mặt 6 chấm: Không thuộc A nhưng thuộc B. Như vậy, các mặt thỏa mãn biến cố A1B là: 2, 4, 6. Số các kết quả có thể xảy ra là 6 (từ 1 đến 6). Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A1B là 3 (là 2, 4, 6). Xác suất của biến cố A1B là: \[ P(A1B) = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{2} \] Câu 7. Để tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 10x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \) quay quanh trục hoành, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = 10x^2 \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (10x^2)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} 100x^4 \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} 100x^4 \, dx = 100 \int_{0}^{1} x^4 \, dx \] \[ = 100 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \] \[ = 100 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) \] \[ = 100 \left( \frac{1}{5} \right) \] \[ = 20 \] Như vậy, thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \times 20 = 20\pi \] Đáp án đúng là: B. \( 20\pi \). Câu 8. Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{-4 + 2}{2} \right) = (0, 2, -1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực chính là vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-1 - 1, 1 - 3, 2 - (-4)) = (-2, -2, 6) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng. - Ta có vectơ pháp tuyến \((-2, -2, 6)\) và điểm M(0, 2, -1) nằm trên mặt phẳng: \[ -2(x - 0) - 2(y - 2) + 6(z + 1) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -2x - 2y + 4 + 6z + 6 = 0 \] \[ -2x - 2y + 6z + 10 = 0 \] Chia cả phương trình cho -2 để đơn giản hóa: \[ x + y - 3z - 5 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ \boxed{x + y - 3z - 5 = 0} \] Đáp án đúng là: \(A.~x + y - 3z - 5 = 0\). Câu 9. Để xác định vị trí tương đối của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ trong không gian Oxyz, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau hoặc trùng nhau. 1. Kiểm tra điều kiện song song: - Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng tỷ lệ với nhau. - Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \(x + 2y + 3z + 4 = 0\) - Mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình: \(x + 5y - z - 9 = 0\) Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{1} \neq \frac{2}{5} \neq \frac{3}{-1} \] Do đó, hai mặt phẳng không song song. 2. Kiểm tra điều kiện trùng nhau: - Hai mặt phẳng trùng nhau nếu các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) tỷ lệ với nhau và hằng số tự do cũng tỷ lệ tương ứng. - Như đã kiểm tra ở trên, các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) không tỷ lệ với nhau, nên hai mặt phẳng không trùng nhau. 3. Kiểm tra điều kiện cắt nhau: - Nếu hai mặt phẳng không song song và không trùng nhau, thì chúng phải cắt nhau. Do đó, hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ cắt nhau. Đáp án: B. cắt nhau.