PHẦN IV. Câu hỏi tự luận

Câu 19. Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo dương trượt zipline từ vị trí A cao 20 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh.

Với hệ trục toạ độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của A và B lần lượt là 4(2;-9;20) và B(37;27;10). Khi du khách khi ở độ cao 15 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là M (a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+c.

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x-3y+1=2. d:==. Gọi (5) là mặt cầu có bán 1 3 -1 kính R =10, có tâm 1 thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với trục Oz. Biết rằng 1 có cao độ âm. Viết phương trình mặt cầu (S)?

Câu 21: Lớp 12A có 45 học sinh, trong đó có 15 học sinh thích môn Hoá học, 25 học sinh thích môn Sinh học, 10 học sinh không thích môn nào trong hai môn trên. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh thích môn Sinh học, biết học sinh đó thích môn Hoá học?

Question

PHẦN IV. Câu hỏi tự luận

Câu 19. Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo dương trượt zipline từ vị trí A cao 20 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh.

Với hệ trục toạ độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), toạ độ của A và B lần lượt là 4(2;-9;20) và B(37;27;10). Khi du khách khi ở độ cao 15 mét thì tọa độ của du khách lúc đó là M (a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+c.

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x-3y+1=2. d:==. Gọi (5) là mặt cầu có bán 1 3 -1 kính R =10, có tâm 1 thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với trục Oz. Biết rằng 1 có cao độ âm. Viết phương trình mặt cầu (S)?

Câu 21: Lớp 12A có 45 học sinh, trong đó có 15 học sinh thích môn Hoá học, 25 học sinh thích môn Sinh học, 10 học sinh không thích môn nào trong hai môn trên. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh thích môn Sinh học, biết học sinh đó thích môn Hoá học?

Accepted Answer

Câu 19.
Để tìm tọa độ của điểm M khi du khách ở độ cao 15 mét trên đường zipline từ A đến B, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số đã cho.

Bước 1: Xác định tọa độ của điểm A và B:
- A(2; -9; 20)
- B(37; 27; 10)

Bước 2: Tìm tỉ số giữa khoảng cách từ A đến M và từ M đến B. Vì M nằm trên đường thẳng nối A và B và có độ cao 15 mét, ta có thể tính tỉ số này dựa trên chiều cao.

Chiều cao từ A đến M là 20 - 15 = 5 mét.
Chiều cao từ M đến B là 15 - 10 = 5 mét.

Tỉ số này là 5 : 5 = 1, nghĩa là M chia đoạn thẳng AB thành hai phần bằng nhau.

Bước 3: Áp dụng công thức tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số đã cho:
$$
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)
$$

Thay tọa độ của A và B vào công thức:
$$
M = \left( \frac{2 + 37}{2}, \frac{-9 + 27}{2}, \frac{20 + 10}{2} \right)
$$
$$
M = \left( \frac{39}{2}, \frac{18}{2}, \frac{30}{2} \right)
$$
$$
M = \left( 19.5, 9, 15 \right)
$$

Bước 4: Tính giá trị biểu thức T = a + b + c:
$$
T = 19.5 + 9 + 15 = 43.5
$$

Vậy giá trị biểu thức T = 43.5.

Câu 20:
Để viết phương trình mặt cầu $(S)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ tâm của mặt cầu:
   - Đường thẳng $d$ có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = 3 + t \
     y = 1 + 2t \
     z = -1 + t
     \end{cases}
     $$
   - Tâm của mặt cầu $(S)$ nằm trên đường thẳng $d$, do đó tọa độ tâm của mặt cầu có dạng $(3 + t, 1 + 2t, -1 + t)$.
   - Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với trục Oz, tức là khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến trục Oz bằng bán kính của mặt cầu. Ta có:
     $$
     \sqrt{(3 + t)^2 + (1 + 2t)^2} = 10
     $$

2. Giải phương trình để tìm giá trị của $t$:
   - Bình phương cả hai vế:
     $$
     (3 + t)^2 + (1 + 2t)^2 = 100
     $$
   - Mở rộng và đơn giản hóa:
     $$
     9 + 6t + t^2 + 1 + 4t + 4t^2 = 100
     $$
     $$
     5t^2 + 10t + 10 = 100
     $$
     $$
     5t^2 + 10t - 90 = 0
     $$
     $$
     t^2 + 2t - 18 = 0
     $$
   - Giải phương trình bậc hai:
     $$
     t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -1 \pm \sqrt{19}
     $$
   - Vì tâm của mặt cầu có cao độ âm, ta chọn $t = -1 - \sqrt{19}$.

3. Tìm tọa độ tâm của mặt cầu:
   - Thay $t = -1 - \sqrt{19}$ vào phương trình tham số của đường thẳng $d$:
     $$
     x = 3 + (-1 - \sqrt{19}) = 2 - \sqrt{19}
     $$
     $$
     y = 1 + 2(-1 - \sqrt{19}) = 1 - 2 - 2\sqrt{19} = -1 - 2\sqrt{19}
     $$
     $$
     z = -1 + (-1 - \sqrt{19}) = -2 - \sqrt{19}
     $$
   - Tọa độ tâm của mặt cầu là $(2 - \sqrt{19}, -1 - 2\sqrt{19}, -2 - \sqrt{19})$.

4. Viết phương trình mặt cầu:
   - Phương trình mặt cầu có tâm $(a, b, c)$ và bán kính $R$ là:
     $$
     (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
     $$
   - Thay tọa độ tâm và bán kính vào phương trình:
     $$
     (x - (2 - \sqrt{19}))^2 + (y - (-1 - 2\sqrt{19}))^2 + (z - (-2 - \sqrt{19}))^2 = 10^2
     $$
     $$
     (x - 2 + \sqrt{19})^2 + (y + 1 + 2\sqrt{19})^2 + (z + 2 + \sqrt{19})^2 = 100
     $$

Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là:
$$
(x - 2 + \sqrt{19})^2 + (y + 1 + 2\sqrt{19})^2 + (z + 2 + \sqrt{19})^2 = 100
$$

Câu 21:
Để tính xác suất chọn được học sinh thích môn Sinh học, biết học sinh đó thích môn Hoá học, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định số học sinh thích cả hai môn Hoá học và Sinh học.
- Tổng số học sinh là 45 học sinh.
- Số học sinh không thích môn nào là 10 học sinh.
- Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là $45 - 10 = 35$ học sinh.
- Số học sinh thích môn Hoá học là 15 học sinh.
- Số học sinh thích môn Sinh học là 25 học sinh.
- Số học sinh thích ít nhất một trong hai môn là 35 học sinh, do đó số học sinh thích cả hai môn là:
$$ 15 + 25 - 35 = 5 \text{ học sinh} $$

Bước 2: Xác định số học sinh thích môn Hoá học.
- Số học sinh thích môn Hoá học là 15 học sinh.

Bước 3: Xác định số học sinh thích môn Sinh học trong số học sinh thích môn Hoá học.
- Số học sinh thích cả hai môn là 5 học sinh.

Bước 4: Tính xác suất chọn được học sinh thích môn Sinh học, biết học sinh đó thích môn Hoá học.
- Xác suất này được tính bằng cách chia số học sinh thích cả hai môn cho số học sinh thích môn Hoá học:
$$ P(\text{Sinh học} | \text{Hoá học}) = \frac{\text{số học sinh thích cả hai môn}}{\text{số học sinh thích môn Hoá học}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$

Vậy xác suất chọn được học sinh thích môn Sinh học, biết học sinh đó thích môn Hoá học là $\frac{1}{3}$.

PHẦN IV. Câu hỏi tự luận Câu 19. Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo dương trượt zipline từ vị trí A cao 20 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m c...