hộ tuii vói

Câu 19. Để viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3;-2;1)\) và đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\): - Vectơ chỉ phương của \(\Delta_1\) là \(\vec{u}_1 = (2, -1, 3)\). - Vectơ chỉ phương của \(\Delta_2\) là \(\vec{u}_2 = (3, 1, -1)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa hai đường thẳng này là \(\vec{n}\), được tính bằng tích vector của \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\): \[ \vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-1) - (3)(1)) - \vec{j}((2)(-1) - (3)(3)) + \vec{k}((2)(1) - (-1)(3)) = \vec{i}(1 - 3) - \vec{j}(-2 - 9) + \vec{k}(2 + 3) = -2\vec{i} + 11\vec{j} + 5\vec{k} \] Vậy \(\vec{n} = (-2, 11, 5)\). 2. Viết phương trình đường thẳng \(d\): - Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3, -2, 1)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{n} = (-2, 11, 5)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t \\ y = -2 + 11t \\ z = 1 + 5t \end{array} \right. \] Phương trình đại lượng của đường thẳng \(d\) là: \[ \frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{5} \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 2}{11} = \frac{z - 1}{5}} \] Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol. 2. Tính diện tích phần gạch chéo. 3. Tính chi phí trang trí. Bước 1: Xác định phương trình của parabol Parabol có đỉnh tại \(I(0, 2)\) và đi qua điểm \(A(-2, 0)\). Phương trình tổng quát của parabol có đỉnh tại \((h, k)\) là: \[ y = a(x - h)^2 + k \] Trong trường hợp này, \(h = 0\) và \(k = 2\), nên phương trình trở thành: \[ y = ax^2 + 2 \] Ta thay tọa độ điểm \(A(-2, 0)\) vào phương trình để tìm \(a\): \[ 0 = a(-2)^2 + 2 \] \[ 0 = 4a + 2 \] \[ 4a = -2 \] \[ a = -\frac{1}{2} \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 \] Bước 2: Tính diện tích phần gạch chéo Phần gạch chéo là diện tích giữa hai đường thẳng \(y = 0\) và \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\) từ \(x = -2\) đến \(x = 2\). Diện tích \(S\) được tính bằng tích phân: \[ S = \int_{-2}^{2} \left( -\frac{1}{2}x^2 + 2 \right) dx \] Tính tích phân: \[ S = \left[ -\frac{1}{6}x^3 + 2x \right]_{-2}^{2} \] Thay cận: \[ S = \left( -\frac{1}{6}(2)^3 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{6}(-2)^3 + 2(-2) \right) \] \[ S = \left( -\frac{8}{6} + 4 \right) - \left( \frac{8}{6} - 4 \right) \] \[ S = \left( -\frac{4}{3} + 4 \right) - \left( \frac{4}{3} - 4 \right) \] \[ S = \left( \frac{-4 + 12}{3} \right) - \left( \frac{4 - 12}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{-8}{3} \right) \] \[ S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \] \[ S = \frac{16}{3} \] Bước 3: Tính chi phí trang trí Giá thành trang trí là 1.500.000 đồng/m². Diện tích cần trang trí là \(\frac{16}{3}\) m². Chi phí trang trí: \[ \text{Chi phí} = 1.500.000 \times \frac{16}{3} \] \[ \text{Chi phí} = 1.500.000 \times 5.3333 \] \[ \text{Chi phí} = 8.000.000 \text{ đồng} \] Vậy ông An cần 8.000.000 đồng để trang trí phần gạch chéo của cổng. Câu 21. Để tính xác suất để con thỏ được lấy ra là con thỏ trắng, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xác suất tổng hợp. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy thỏ từ chuồng I: - Trường hợp 1: Lấy ra 1 con thỏ trắng từ chuồng I. - Trường hợp 2: Lấy ra 1 con thỏ đen từ chuồng I. Bước 2: Tính xác suất của mỗi trường hợp: - Xác suất lấy ra 1 con thỏ trắng từ chuồng I là $\frac{6}{10} = 0,6$. - Xác suất lấy ra 1 con thỏ đen từ chuồng I là $\frac{4}{10} = 0,4$. Bước 3: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy thỏ từ chuồng II sau khi đã thêm 1 con thỏ từ chuồng I: - Nếu lấy ra 1 con thỏ trắng từ chuồng I, thì chuồng II sẽ có 8 con thỏ trắng và 3 con thỏ đen. - Nếu lấy ra 1 con thỏ đen từ chuồng I, thì chuồng II sẽ có 7 con thỏ trắng và 4 con thỏ đen. Bước 4: Tính xác suất lấy ra 1 con thỏ trắng từ chuồng II trong mỗi trường hợp: - Nếu chuồng II có 8 con thỏ trắng và 3 con thỏ đen, xác suất lấy ra 1 con thỏ trắng là $\frac{8}{11}$. - Nếu chuồng II có 7 con thỏ trắng và 4 con thỏ đen, xác suất lấy ra 1 con thỏ trắng là $\frac{7}{11}$. Bước 5: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(\text{thỏ trắng}) = P(\text{thỏ trắng từ chuồng I}) \times P(\text{thỏ trắng từ chuồng II | thỏ trắng từ chuồng I}) + P(\text{thỏ đen từ chuồng I}) \times P(\text{thỏ trắng từ chuồng II | thỏ đen từ chuồng I}) \] \[ P(\text{thỏ trắng}) = 0,6 \times \frac{8}{11} + 0,4 \times \frac{7}{11} \] \[ P(\text{thỏ trắng}) = 0,6 \times 0,7273 + 0,4 \times 0,6364 \] \[ P(\text{thỏ trắng}) = 0,4364 + 0,2546 \] \[ P(\text{thỏ trắng}) = 0,691 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là 0,69 hoặc 69%. Đáp số: 69%.