Khgđfgvcdyyrd nngv

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ giao điểm \( I \) của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng \( (P) \). 2. Xác định phương trình của đường thẳng \( \Delta \) vuông góc với \( d \) và nằm trong mặt phẳng \( (P) \). 3. Tìm tọa độ hình chiếu \( M \) của điểm \( I \) lên đường thẳng \( \Delta \). Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm \( I \) Thay tọa độ của điểm trên đường thẳng \( d \) vào phương trình của mặt phẳng \( (P) \): \[ x + y + z - 3 = 0 \] Thay \( x = t \), \( y = -1 + 2t \), \( z = 2 - t \) vào phương trình mặt phẳng: \[ t + (-1 + 2t) + (2 - t) - 3 = 0 \] Giải phương trình: \[ t - 1 + 2t + 2 - t - 3 = 0 \] \[ 2t - 2 = 0 \] \[ 2t = 2 \] \[ t = 1 \] Khi \( t = 1 \), ta có tọa độ giao điểm \( I \): \[ I(1, 1, 1) \] Bước 2: Xác định phương trình của đường thẳng \( \Delta \) Đường thẳng \( \Delta \) nằm trong mặt phẳng \( (P) \) và vuông góc với đường thẳng \( d \). Vector chỉ phương của đường thẳng \( d \) là \( \vec{d} = (1, 2, -1) \). Phương trình mặt phẳng \( (P) \) là: \[ x + y + z - 3 = 0 \] Vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là \( \vec{n} = (1, 1, 1) \). Vector chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) phải vuông góc với cả \( \vec{d} \) và \( \vec{n} \). Ta tính tích vector: \[ \vec{u} = \vec{d} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) = \vec{i}(2 + 1) - \vec{j}(1 + 1) + \vec{k}(1 - 2) = 3\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} = (3, -2, -1) \] Do đó, đường thẳng \( \Delta \) có phương trình tham số: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3s \\ y = 1 - 2s \\ z = 1 - s \end{array} \right., s \in \mathbb{R} \] Bước 3: Tìm tọa độ hình chiếu \( M \) của điểm \( I \) lên đường thẳng \( \Delta \) Hình chiếu \( M \) của điểm \( I \) lên đường thẳng \( \Delta \) là điểm trên \( \Delta \) sao cho đoạn thẳng \( IM \) vuông góc với \( \Delta \). Gọi \( M \) có tọa độ \( (1 + 3s, 1 - 2s, 1 - s) \). Vector \( \overrightarrow{IM} \) là: \[ \overrightarrow{IM} = (1 + 3s - 1, 1 - 2s - 1, 1 - s - 1) = (3s, -2s, -s) \] Để \( \overrightarrow{IM} \) vuông góc với \( \Delta \), ta có: \[ \overrightarrow{IM} \cdot \vec{u} = 0 \] \[ (3s, -2s, -s) \cdot (3, -2, -1) = 0 \] \[ 3s \cdot 3 + (-2s) \cdot (-2) + (-s) \cdot (-1) = 0 \] \[ 9s + 4s + s = 0 \] \[ 14s = 0 \] \[ s = 0 \] Khi \( s = 0 \), tọa độ của điểm \( M \) là: \[ M(1 + 3 \cdot 0, 1 - 2 \cdot 0, 1 - 0) = (1, 1, 1) \] Như vậy, tọa độ của hình chiếu \( M \) của điểm \( I \) lên đường thẳng \( \Delta \) là \( (1, 1, 1) \). Đáp số: \( M(1, 1, 1) \)