Giúp mình với ạ

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Tại thời điểm \( t = 0 \): \[ \theta(0) = 2 \cdot 0 + 0.5 \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot 0\right) = 0 + 0.5 \cdot 0 = 0 \text{ (rad)} \] Vậy, tại thời điểm \( t = 0 \), góc quay của cánh quạt là 0 radian, không phải 0.5 radian. b) Vận tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t \): Vận tốc góc \(\omega(t)\) là đạo hàm của góc quay \(\theta(t)\) theo thời gian \( t \): \[ \theta(t) = 2t + 0.5 \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Tính đạo hàm: \[ \omega(t) = \frac{d\theta(t)}{dt} = 2 + 0.5 \cdot \frac{\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Vậy, vận tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t \) là: \[ \omega(t) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \text{ (rad/s)} \] c) Vận tốc góc của cánh quạt luôn lớn hơn hoặc bằng \( 2 - \frac{\pi}{6} \) (rad/s): Ta đã tính được: \[ \omega(t) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Biết rằng \(-1 \leq \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \leq 1\), ta có: \[ - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \leq \frac{\pi}{6} \] Do đó: \[ 2 - \frac{\pi}{6} \leq 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \leq 2 + \frac{\pi}{6} \] Vậy, vận tốc góc của cánh quạt luôn lớn hơn hoặc bằng \( 2 - \frac{\pi}{6} \) (rad/s). d) Gia tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây: Gia tốc góc \(\alpha(t)\) là đạo hàm của vận tốc góc \(\omega(t)\) theo thời gian \( t \): \[ \omega(t) = 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Tính đạo hàm: \[ \alpha(t) = \frac{d\omega(t)}{dt} = \frac{\pi}{6} \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3} t\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi^2}{18} \sin\left(\frac{\pi}{3} t\right) \] Tại thời điểm \( t = 3 \): \[ \alpha(3) = -\frac{\pi^2}{18} \sin\left(\frac{\pi}{3} \cdot 3\right) = -\frac{\pi^2}{18} \sin(\pi) = -\frac{\pi^2}{18} \cdot 0 = 0 \text{ (rad/s}^2\text{)} \] Vậy, gia tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây là 0 (rad/s²). Kết luận: a) Sai, tại thời điểm \( t = 0 \), góc quay của cánh quạt là 0 radian. b) Sai, vận tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t \) là \( 2 + \frac{\pi}{6} \cos\left(\frac{\pi}{3} t\right) \) (rad/s). c) Đúng, vận tốc góc của cánh quạt luôn lớn hơn hoặc bằng \( 2 - \frac{\pi}{6} \) (rad/s). d) Đúng, gia tốc góc của cánh quạt tại thời điểm \( t = 3 \) giây là 0 (rad/s²). Câu 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số có tiệm cận đứng $x = -1.$ Điều kiện xác định của hàm số là $x + 1 \neq 0$, tức là $x \neq -1$. Do đó, hàm số có tiệm cận đứng là $x = -1$. Phát biểu này sai. b) Đồ thị hàm số (C) không cắt trục Ox. Để kiểm tra xem đồ thị có cắt trục Ox hay không, ta cần giải phương trình $\frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} = 0$. Điều này tương đương với $-x^2 + x + 1 = 0$ và $x \neq -1$. Giải phương trình bậc hai: \[ -x^2 + x + 1 = 0 \] \[ x^2 - x - 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Cả hai nghiệm đều khác $-1$, do đó đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm. Phát biểu này sai. c) Hàm số có 2 điểm cực trị. Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{-x^2 + x + 1}{x + 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(-2x + 1)(x + 1) - (-x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 - 2x + x + 1 + x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 - 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Đặt $y' = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ \frac{-x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ -x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] Do đó, hàm số có 2 điểm cực trị. Phát biểu này đúng. d) Đồ thị hàm số (C) có đường tiệm cận xiên đi qua điểm $A(1;2)$. Để tìm đường tiệm cận xiên, ta tính giới hạn: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x^2 + x + 1}{x + 1} \right) \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{-x + 1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \right) = -x + 1 \] Đường tiệm cận xiên là $y = -x + 1$. Để kiểm tra xem nó có đi qua điểm $A(1;2)$ hay không, thay $x = 1$ vào phương trình: \[ y = -1 + 1 = 0 \] Điểm $(1;0)$ không trùng với điểm $A(1;2)$. Phát biểu này sai. Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Đáp án: c) Đúng