vcvgggfggggggffffggggggggg

Câu 9: Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta sử dụng công thức thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trước tiên, ta tính diện tích đáy ABCD. Vì đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( AD = 2a \), nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = a \times 2a = 2a^2 \] Tiếp theo, chiều cao của khối chóp là đoạn thẳng SA, với \( SA = a\sqrt{3} \). Thay vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 2a^3\sqrt{3} = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{3}a^3}{3}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\frac{2\sqrt{3}a^3}{3} \] Câu 10: Để tính tỉ lệ học sinh không thích cả hai môn bóng đá và bóng rổ, chúng ta sẽ áp dụng công thức về xác suất của sự kiện tổng hợp. Bước 1: Xác định các biến số: - Số bạn thích môn bóng đá: 70% - Số bạn thích môn bóng rổ: 50% - Số bạn thích cả hai môn: 30% Bước 2: Áp dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A) \) là xác suất học sinh thích môn bóng đá. - \( P(B) \) là xác suất học sinh thích môn bóng rổ. - \( P(A \cap B) \) là xác suất học sinh thích cả hai môn. Bước 3: Thay các giá trị vào công thức: \[ P(A \cup B) = 70\% + 50\% - 30\% = 90\% \] Bước 4: Tính tỉ lệ học sinh không thích cả hai môn: \[ P(\text{không thích cả hai môn}) = 100\% - P(A \cup B) = 100\% - 90\% = 10\% \] Vậy tỉ lệ học sinh không thích cả hai môn bóng đá và bóng rổ của lớp 11A là 10%. Đáp án đúng là: D. 10%. Câu 11: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ tại giao điểm với đường thẳng $y = -2$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = -2$. Ta thay $y = -2$ vào phương trình hàm số: \[ x^3 - 3x^2 + 2 = -2 \] \[ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \] Ta thử nghiệm các giá trị nguyên để tìm nghiệm của phương trình này: - Thử $x = 1$: $1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \neq 0$ - Thử $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$ Vậy $x = 2$ là một nghiệm của phương trình. Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại: \[ x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) \] \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \] Do đó, phương trình $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ có các nghiệm là $x = 2$ và $x = -1$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 3: Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm giao. - Tại điểm $(2, -2)$: \[ y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) = 12 - 12 = 0 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, -2)$ là: \[ y - (-2) = 0(x - 2) \] \[ y = -2 \] - Tại điểm $(-1, -2)$: \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, -2)$ là: \[ y - (-2) = 9(x - (-1)) \] \[ y + 2 = 9(x + 1) \] \[ y = 9x + 9 - 2 \] \[ y = 9x + 7 \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với đường thẳng $y = -2$ là $y = 9x + 7$ và $y = -2$. Đáp án đúng là: $C.~y=9x+7;~y=-2.$ Câu 12: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \log(2x - 1) \) trên khoảng \((\frac{1}{2}; +\infty)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( y = \log(2x - 1) \) có nghĩa khi \( 2x - 1 > 0 \). Điều này tương đương với \( x > \frac{1}{2} \). Do đó, ĐKXĐ của hàm số là \( x > \frac{1}{2} \). 2. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit cơ số a: Công thức đạo hàm của hàm số \( y = \log_a(u) \) là: \[ y' = \frac{u'}{u \ln a} \] Trong đó, \( u = 2x - 1 \) và \( a = 10 \). 3. Tìm đạo hàm của \( u \): \[ u = 2x - 1 \implies u' = 2 \] 4. Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{u'}{u \ln 10} = \frac{2}{(2x - 1) \ln 10} \] Do đó, đạo hàm của hàm số \( y = \log(2x - 1) \) là: \[ y' = \frac{2}{(2x - 1) \ln 10} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y^\prime=\frac{2}{(2x-1)\ln10}} \] Câu 1: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. a) Điều kiện xác định của phương trình là $x > \log_3 7$. Điều kiện xác định của phương trình $\log_3(7 - 3^x)$ là $7 - 3^x > 0$. Từ đó suy ra: \[ 7 > 3^x \] \[ \log_3 7 > x \] Vậy điều kiện xác định đúng là $x < \log_3 7$. Mệnh đề này sai. b) Mũ hóa cơ số 3 hai vế ta có phương trình tương đương $7 - 3^x = \frac{9}{3^x}$. Ta có phương trình ban đầu: \[ \log_3(7 - 3^x) = 2 - x \] Mũ hóa cơ số 3 hai vế: \[ 7 - 3^x = 3^{2 - x} \] \[ 7 - 3^x = \frac{9}{3^x} \] Vậy mệnh đề này đúng. c) Phương trình có hai nghiệm là $x_1 = \log_3(7 - \sqrt{13})$ và $x_2 = \log_3(7 + \sqrt{13})$. Nhân cả hai vế với $3^x$, ta có: \[ 7 \cdot 3^x - (3^x)^2 = 9 \] \[ (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 9 = 0 \] Đặt $t = 3^x$, ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 7t + 9 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 36}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} \] Do đó: \[ 3^x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{hoặc} \quad 3^x = \frac{7 - \sqrt{13}}{2} \] Suy ra: \[ x_1 = \log_3 \left(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\right) \quad \text{và} \quad x_2 = \log_3 \left(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\right) \] Vậy mệnh đề này sai vì nghiệm không đúng. d) Tổng hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình $x_1 + x_2 = 2$. Theo tính chất của phương trình bậc hai, tổng các nghiệm của phương trình $t^2 - 7t + 9 = 0$ là: \[ t_1 + t_2 = 7 \] Vì $t_1 = 3^{x_1}$ và $t_2 = 3^{x_2}$, ta có: \[ 3^{x_1} + 3^{x_2} = 7 \] Tuy nhiên, tổng các nghiệm $x_1$ và $x_2$ không phải là 2. Mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề a) Sai - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Sai Câu 2: a) Khoảng cách giữa hai mặt (ABCD) và (A'B'C'D') bằng 2 vì chúng là hai mặt đối diện của hình lập phương và khoảng cách giữa chúng chính là độ dài cạnh của hình lập phương. b) Khoảng cách từ C đến (BB'D'D) bằng đoạn CO. Vì O là tâm của đáy ABCD, nên CO là đường cao hạ từ C xuống mặt phẳng (BB'D'D). Độ dài CO là $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD' và DC' lớn hơn 2. Ta thấy rằng AD' và DC' là hai đường thẳng chéo nhau trong hình lập phương. Khoảng cách giữa chúng sẽ nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đường chéo của mặt đáy, tức là $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$. Do đó, khoảng cách này không thể lớn hơn 2. d) Khoảng cách từ B đến (CDI) bằng đoạn $2\sqrt{2}$. Ta thấy rằng B nằm trên đường thẳng BD, và CDI là mặt phẳng đi qua C, D và I. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng này chính là độ dài đường cao hạ từ B xuống mặt phẳng (CDI). Vì I là giao điểm của BO' và DB', nên khoảng cách này sẽ là $\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Đáp án đúng là: a) Khoảng cách giữa hai mặt (ABCD) và (A'B'C'D') bằng 2. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình $\log_2(x^2-3x+2) \leq 1$ có nghĩa là $x^2 - 3x + 2 > 0$ (vì đối số của hàm logarit phải dương). 2. Giải bất phương trình $x^2 - 3x + 2 > 0$: - Ta tìm nghiệm của phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ và $x = 2$. - Xét dấu của biểu thức $x^2 - 3x + 2$ trên các khoảng $( -\infty, 1)$, $(1, 2)$ và $(2, +\infty)$: - Khi $x < 1$, $x^2 - 3x + 2 > 0$. - Khi $1 < x < 2$, $x^2 - 3x + 2 < 0$. - Khi $x > 2$, $x^2 - 3x + 2 > 0$. - Vậy $x^2 - 3x + 2 > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 2$. 3. Giải bất phương trình $\log_2(x^2-3x+2) \leq 1$: - Ta có $\log_2(x^2-3x+2) \leq 1$ suy ra $x^2 - 3x + 2 \leq 2$ (vì $\log_2(2) = 1$). - Biến đổi thành phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 2 \leq 2 \] \[ x^2 - 3x \leq 0 \] \[ x(x - 3) \leq 0 \] - Giải phương trình $x(x - 3) = 0$: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] - Xét dấu của biểu thức $x(x - 3)$ trên các khoảng $( -\infty, 0)$, $(0, 3)$ và $(3, +\infty)$: - Khi $x < 0$, $x(x - 3) > 0$. - Khi $0 \leq x \leq 3$, $x(x - 3) \leq 0$. - Khi $x > 3$, $x(x - 3) > 0$. - Vậy $x(x - 3) \leq 0$ khi $0 \leq x \leq 3$. 4. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x < 1$ hoặc $x > 2$ với điều kiện $0 \leq x \leq 3$, ta có: \[ 0 \leq x < 1 \quad \text{hoặc} \quad 2 < x \leq 3 \] 5. Xác định các nghiệm nguyên: - Các giá trị nguyên thỏa mãn $0 \leq x < 1$ là $x = 0$. - Các giá trị nguyên thỏa mãn $2 < x \leq 3$ là $x = 3$. Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là $x = 0$ và $x = 3$. Số nghiệm nguyên là 2. Đáp số: 2 nghiệm nguyên. Câu 2: Để tìm số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp Memphis, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố liên quan: - Chiều cao của kim tự tháp: \( h = 98 \) m - Cạnh đáy của kim tự tháp: \( a = 180 \) m 2. Tìm tâm của đáy: Vì kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều, tâm của đáy sẽ là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông đáy. Ta gọi tâm này là \( O \). 3. Tính khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy: Khoảng cách từ tâm đáy \( O \) đến một đỉnh của đáy (gọi là \( A \)) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy. Bán kính này được tính bằng công thức: \[ OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{180\sqrt{2}}{2} = 90\sqrt{2} \text{ m} \] 4. Xác định góc nhị diện: Góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy chính là góc giữa đường thẳng từ đỉnh của kim tự tháp (gọi là \( S \)) xuống tâm đáy \( O \) và đường thẳng từ đỉnh \( S \) xuống một đỉnh của đáy \( A \). Ta gọi góc này là \( \alpha \). 5. Tính góc \( \alpha \): Trong tam giác \( SOA \), ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{SO}{OA} = \frac{98}{90\sqrt{2}} \] Tính giá trị của \( \tan(\alpha) \): \[ \tan(\alpha) = \frac{98}{90\sqrt{2}} = \frac{98}{90 \times 1.414} \approx \frac{98}{127.26} \approx 0.77 \] Tìm góc \( \alpha \) từ giá trị của \( \tan(\alpha) \): \[ \alpha = \arctan(0.77) \approx 37.6^\circ \] Vậy số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp Memphis là \( 37.6^\circ \). Câu 3: Để tính giá trị của $y'(\frac{\pi}{2})$, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $y = 4\sin^2x \cdot \cos^3x$. Bước 1: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (4\sin^2x \cdot \cos^3x)' \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của tích: \[ y' = 4[(\sin^2x)' \cdot \cos^3x + \sin^2x \cdot (\cos^3x)'] \] Bước 3: Tính đạo hàm từng phần: - Đạo hàm của $\sin^2x$: \[ (\sin^2x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cdot \cos x \] - Đạo hàm của $\cos^3x$: \[ (\cos^3x)' = 3\cos^2x \cdot (\cos x)' = 3\cos^2x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2x \cdot \sin x \] Bước 4: Thay vào công thức đạo hàm của tích: \[ y' = 4[2\sin x \cdot \cos x \cdot \cos^3x + \sin^2x \cdot (-3\cos^2x \cdot \sin x)] \] \[ y' = 4[2\sin x \cdot \cos^4x - 3\sin^3x \cdot \cos^2x] \] \[ y' = 4\sin x \cdot \cos^2x [2\cos^2x - 3\sin^2x] \] Bước 5: Thay $x = \frac{\pi}{2}$ vào biểu thức đạo hàm: \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \left[2\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)\right] \] Biết rằng: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Do đó: \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot 1 \cdot 0^2 \left[2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 1^2\right] \] \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot 0 \cdot [-3] \] \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Vậy giá trị của $y'(\frac{\pi}{2})$ là 0. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về tỉ lệ vô địch của hai tay đua L.Hamilton và M.Verstappen. Tuy nhiên, giả sử rằng chúng ta đã biết tỉ lệ vô địch của mỗi tay đua, chúng ta sẽ tiến hành như sau: 1. Xác định tỉ lệ vô địch của mỗi tay đua: Giả sử tỉ lệ vô địch của L.Hamilton là \( p_1 \) và tỉ lệ vô địch của M.Verstappen là \( p_2 \). 2. Tính xác suất để một trong hai tay đua vô địch: Xác suất để một trong hai tay đua vô địch là tổng của xác suất vô địch của mỗi tay đua trừ đi xác suất cả hai tay đua cùng vô địch (vì hai tay đua không thể cùng vô địch trong một giải đấu): \[ P(\text{vô địch}) = p_1 + p_2 - p_1 \cdot p_2 \] 3. Tính xác suất để cả hai tay đua không vô địch: Xác suất để cả hai tay đua không vô địch là: \[ P(\text{không vô địch}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \] 4. Tính xác suất để ít nhất một trong hai tay đua vô địch: Xác suất để ít nhất một trong hai tay đua vô địch là: \[ P(\text{ít nhất một vô địch}) = 1 - P(\text{không vô địch}) \] Thay vào công thức: \[ P(\text{ít nhất một vô địch}) = 1 - (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) \] 5. Kết luận: Kết quả cuối cùng là xác suất để ít nhất một trong hai tay đua vô địch. Ví dụ cụ thể: Giả sử tỉ lệ vô địch của L.Hamilton là 0.6 và tỉ lệ vô địch của M.Verstappen là 0.4. \[ P(\text{ít nhất một vô địch}) = 1 - (1 - 0.6) \cdot (1 - 0.4) = 1 - 0.4 \cdot 0.6 = 1 - 0.24 = 0.76 \] Vậy xác suất để ít nhất một trong hai tay đua vô địch là 0.76 hoặc 76%. Đáp số: 0.76 hoặc 76%.