Câu 10.
Để xác định phương trình của một mặt cầu, ta cần viết phương trình dưới dạng chuẩn của mặt cầu, tức là , trong đó là tâm của mặt cầu và là bán kính.
Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình đã cho:
A.
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và lại:
Hoàn thành bình phương:
Phương trình này không thể đúng vì tổng của các bình phương không thể âm. Do đó, phương án A không phải là phương trình của một mặt cầu.
B.
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và lại:
Hoàn thành bình phương:
Phương trình này cũng không thể đúng vì tổng của các bình phương không thể âm. Do đó, phương án B không phải là phương trình của một mặt cầu.
C.
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và lại:
Hoàn thành bình phương:
Phương trình này cũng không thể đúng vì tổng của các bình phương không thể âm. Do đó, phương án C không phải là phương trình của một mặt cầu.
D.
Ta nhóm các hạng tử liên quan đến , , và lại:
Hoàn thành bình phương:
Phương trình này đúng và có dạng chuẩn của mặt cầu với tâm và bán kính . Do đó, phương án D là phương trình của một mặt cầu.
Vậy phương trình của mặt cầu là:
Câu 11.
Xác suất của biến cố A với điều kiện B được tính bằng cách chia xác suất của biến cố giao giữa A và B cho xác suất của biến cố B. Công thức này được viết dưới dạng:
Trong đó:
- là xác suất của biến cố A với điều kiện B đã xảy ra.
- là xác suất của biến cố giao giữa A và B.
- là xác suất của biến cố B.
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 12.
Để tìm xác suất của biến cố B với điều kiện A, ta sử dụng công thức xác suất có điều kiện:
Trong đó:
- là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc.
- là xác suất của biến cố A.
Theo đề bài, ta có:
-
-
Áp dụng công thức trên, ta tính xác suất của B với điều kiện A:
Vậy xác suất của B với điều kiện A là 0,8.
Đáp án đúng là: B. 0,8.
Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết.
Phần a)
Ta cần kiểm tra xem có phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay không.
Mặt phẳng có phương trình: .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Do đó, đúng là một vectơ pháp tuyến của .
Phần b)
Ta cần kiểm tra xem điểm có thuộc mặt phẳng hay không.
Mặt phẳng có phương trình: .
Thay tọa độ của điểm vào phương trình của :
Như vậy, điểm thuộc mặt phẳng . Do đó, phần b) là sai.
Phần c)
Ta cần kiểm tra xem hai mặt phẳng và có song song với nhau hay không.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Ta thấy rằng . Điều này chứng tỏ hai vectơ pháp tuyến là bội của nhau, do đó hai mặt phẳng và song song với nhau.
Phần d)
Ta cần kiểm tra xem hai mặt phẳng và có vuông góc với nhau hay không.
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0.
Tích vô hướng của và là:
Do đó, hai mặt phẳng và không vuông góc với nhau.
Kết luận:
- Phần a) đúng.
- Phần b) sai.
- Phần c) đúng.
- Phần d) sai.
Vậy đáp án đúng là:
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Câu 2.
a) Ta thấy rằng tọa độ của điểm M không thỏa mãn phương trình của đường thẳng . Do đó, điểm M không thuộc đường thẳng .
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là . Ta thấy rằng là vectơ chỉ phương của đường thẳng vì nó là bội của .
c) Đường thẳng d đi qua điểm A(1,0,0) và song song với đường thẳng có phương trình là:
d) Đường thẳng qua 2 điểm M và N có phương trình tham số là:
Đáp số:
a) Điểm M không thuộc đường thẳng .
b) là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
c) Phương trình của đường thẳng d là .
d) Phương trình tham số của đường thẳng qua 2 điểm M và N là .
Câu 1.
Hai mặt phẳng và trùng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng tỉ lệ với nhau và tự do cũng tỉ lệ với nhau.
Ta có:
So sánh các hệ số tương ứng:
Tính các tỉ lệ:
Do đó, để hai mặt phẳng trùng nhau, ta cần:
Giải phương trình này:
Vậy giá trị của để hai mặt phẳng và trùng nhau là .
Đáp số: .
Câu 2.
Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình tham số:
Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình:
Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có công thức:
- Tính tích vô hướng :
- Tính độ dài của vectơ :
- Tính độ dài của vectơ :
- Thay vào công thức:
- Tìm góc :
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
- Tính :
- Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
- Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
Vậy giá trị của là 80.