Giup minh voi

Câu 8. Để kiểm tra tọa độ của các điểm có thuộc đường thẳng $(d)$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. - Kiểm tra điểm $A(1;2;0)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = 1 - t \\ 2 = 2 + t \\ 0 = 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình thứ ba, ta có $t = 0$. Thay $t = 0$ vào hai phương trình còn lại: \[ 1 = 1 - 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ 2 = 2 + 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Vậy điểm $A(1;2;0)$ thuộc đường thẳng $(d)$. - Kiểm tra điểm $B(4;-1;-9)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4 = 1 - t \\ -1 = 2 + t \\ -9 = 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình thứ ba, ta có $t = -3$. Thay $t = -3$ vào hai phương trình còn lại: \[ 4 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ -1 = 2 + (-3) = 2 - 3 = -1 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Vậy điểm $B(4;-1;-9)$ thuộc đường thẳng $(d)$. - Kiểm tra điểm $C(2;1;3)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2 = 1 - t \\ 1 = 2 + t \\ 3 = 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình thứ ba, ta có $t = 1$. Thay $t = 1$ vào hai phương trình còn lại: \[ 2 = 1 - 1 = 0 \quad \text{(không thỏa mãn)} \] \[ 1 = 2 + 1 = 3 \quad \text{(không thỏa mãn)} \] Vậy điểm $C(2;1;3)$ không thuộc đường thẳng $(d)$. - Kiểm tra điểm $D(-1;4;6)$: Thay vào phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} -1 = 1 - t \\ 4 = 2 + t \\ 6 = 3t \end{array} \right. \] Từ phương trình thứ ba, ta có $t = 2$. Thay $t = 2$ vào hai phương trình còn lại: \[ -1 = 1 - 2 = -1 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ 4 = 2 + 2 = 4 \quad \text{(thỏa mãn)} \] Vậy điểm $D(-1;4;6)$ thuộc đường thẳng $(d)$. Kết luận: Tọa độ điểm không thuộc đường thẳng $(d)$ là điểm $C(2;1;3)$. Đáp án: C. $(2;1;3)$. Câu 9. Để viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M(-2; -1; 2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P): x - 2y + 2z + 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( x - 2y + 2z + 5 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (1, -2, 2) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) sẽ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là \( \vec{d} = (1, -2, 2) \). 3. Viết phương trình đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( M(-2; -1; 2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d} = (1, -2, 2) \) có phương trình tham số là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2 + 2t \end{array} \right. \] Như vậy, phương trình đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 2 + 2t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{C. \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 2 + 2t \end{array} \right.} \] Câu 10. Để tính xác suất điều kiện \( P(A|B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A \cap B) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Theo đề bài, ta có: - \( P(A) = 0,6 \) - \( P(B) = 0,7 \) - \( P(A \cap B) = 0,3 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,3}{0,7} = \frac{3}{7} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{3}{7}} \] Câu 11. Để tính $P(B|A)$, ta cần sử dụng công thức xác suất điều kiện và luật toàn xác suất. Trước tiên, ta tính $P(A)$ bằng cách sử dụng luật toàn xác suất: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Biết rằng: \[ P(B) = 0,8 \] \[ P(A|B) = 0,7 \] \[ P(A|\overline{B}) = 0,45 \] \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Thay vào công thức: \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,8 + 0,45 \cdot 0,2 \] \[ P(A) = 0,56 + 0,09 \] \[ P(A) = 0,65 \] Bây giờ, ta tính $P(B|A)$ bằng cách sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B|A) = \frac{0,7 \cdot 0,8}{0,65} \] \[ P(B|A) = \frac{0,56}{0,65} \] \[ P(B|A) = \frac{56}{65} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\frac{56}{65}$ Câu 12. Để tìm bán kính của mặt cầu (S) có tâm $I(2;-2;1)$ và đi qua gốc tọa độ O, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ tâm I đến gốc tọa độ O: - Gọi khoảng cách này là R, tức là bán kính của mặt cầu. - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ R = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Thay tọa độ của điểm I và O vào công thức: \[ R = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 2. Kết luận: - Bán kính của mặt cầu (S) là 3. Vậy, bán kính của mặt cầu (S) là 3. Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Xác suất của các viên bi a) Số viên bi màu đỏ có đánh số: Số viên bi màu đỏ có đánh số là: \[ 50 \times 0.6 = 30 \text{ viên} \] b) Số viên bi màu vàng không đánh số: Số viên bi màu vàng không đánh số là: \[ 30 \times 0.5 = 15 \text{ viên} \] c) Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số: Tổng số viên bi có đánh số là: \[ 30 + 15 = 45 \text{ viên} \] Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: \[ \frac{45}{80} = \frac{9}{16} \] d) Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số: Tổng số viên bi không có đánh số là: \[ 50 - 30 + 30 - 15 = 20 + 15 = 35 \text{ viên} \] Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: \[ \frac{35}{80} = \frac{7}{16} \] Phần 2: Nguyên hàm và tích phân a) Giá trị của \( f(0) \): \[ f(0) = 4 \cdot 0^3 + \sin 0 = 0 + 0 = 0 \] b) Kiểm tra \( F(x) = x^4 - \cos x - 1 \) là nguyên hàm của \( f(x) \): Ta có: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - \cos x - 1) = 4x^3 + \sin x = f(x) \] Do đó, \( F(x) = x^4 - \cos x - 1 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \). c) Kiểm tra \( f(x) \) là nguyên hàm của \( g(x) = 12x^2 + \cos x \): Ta có: \[ f(x) = 4x^3 + \sin x \] \[ g(x) = 12x^2 + \cos x \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + \sin x) = 12x^2 + \cos x = g(x) \] Do đó, \( f(x) \) là một nguyên hàm của \( g(x) \). d) Tích phân \( \int f(x) \, dx \): \[ \int f(x) \, dx = \int (4x^3 + \sin x) \, dx = x^4 - \cos x + C \] Kết luận: 1. Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30. 2. Số viên bi màu vàng không đánh số là 15. 3. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là \( \frac{9}{16} \). 4. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là \( \frac{7}{16} \). 5. \( f(0) = 0 \). 6. \( F(x) = x^4 - \cos x - 1 \) là một nguyên hàm của \( f(x) \). 7. \( f(x) \) là một nguyên hàm của \( g(x) = 12x^2 + \cos x \). 8. \( \int f(x) \, dx = x^4 - \cos x + C \).