Giải hộ e ạ

Câu 5:

Gọi bán kính đường tròn là $R$. Chiều dài tấm thép hình chữ nhật là $2x$ và chiều rộng là $y$. Theo đề bài, chiều dài tấm thép là 40 cm, tức là $2x = 40$, suy ra $x = 20$ cm.

Do tấm thép hình chữ nhật nằm trên đường kính hình bán nguyệt, ta có $x^2 + y^2 = R^2$.

Vì $x = 20$ cm, nên $20^2 + y^2 = R^2$, hay $400 + y^2 = R^2$.

Diện tích tấm thép hình chữ nhật là $S = 2xy = 40y$.

Ta muốn tìm diện tích lớn nhất, nghĩa là tìm $y$ lớn nhất.

Từ $400 + y^2 = R^2$, ta thấy $y$ lớn nhất khi $R$ lớn nhất.

Vì tấm thép hình chữ nhật nằm trong hình bán nguyệt, nên $y \leq R$.

Khi $y=R$, thì $x=0$, diện tích tấm thép bằng 0.

Khi $y$ càng nhỏ, $x$ càng lớn, nhưng $2x$ không được vượt quá đường kính của hình bán nguyệt là $2R$.

Vì tấm thép nằm trên đường kính nên chiều rộng của tấm thép là khoảng cách từ tâm đường tròn tới dây cung độ dài 40 cm. Theo định lý Pytago, ta có $R^2 = x^2 + y^2$. Khi $x = 20$, ta có $R^2 = 20^2 + y^2 = 400 + y^2$.

Diện tích tấm thép hình chữ nhật là $S = 2xy = 40y$.

Ta có $400 + y^2 = R^2$, nên $y = \sqrt{R^2 - 400}$.

Do đó $S = 40\sqrt{R^2 - 400}$.

Để diện tích lớn nhất, ta cần $y$ lớn nhất.

$y$ lớn nhất khi $y=R$, khi đó $x=0$, diện tích bằng 0.

Ta có $S = 40y$.

$400 + y^2 = R^2$.

Để tìm diện tích lớn nhất, ta xem xét trường hợp dây cung dài 40 cm là đường kính của hình bán nguyệt.

Khi đó, $2R = 40$, suy ra $R=20$.

Tấm thép hình chữ nhật có $2x = 40$ cm, nên $x=20$.

Vì $x^2 + y^2 = R^2$, ta có $20^2 + y^2 = 20^2$, nên $y=0$.

Diện tích bằng 0.

Xét trường hợp chiều rộng tấm thép bằng bán kính hình bán nguyệt, tức là $y=R$.

Khi đó $400 + R^2 = R^2$, điều này vô lý.

Diện tích tấm thép lớn nhất khi $y$ lớn nhất. $y$ lớn nhất khi $y = R$ và $x = 0$. Khi đó diện tích bằng 0.

Do $y \leq R$ nên $40y \leq 40R$.

Xét khi $y$ lớn nhất, thì $y=20$. Khi đó $R=20\sqrt{2}$.

$S = 40y = 40(20) = 800$.

Vậy diện tích lớn nhất là $800$ cm$^2$.

Câu 6:

Gọi $O$ là điểm xuất phát của hai khinh khí cầu.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3$ km về phía Đông và $2$ km về phía Nam, cách mặt đất $0,5$ km. Vậy tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ nhất là $A(3, -2, 0.5)$.

Chiếc khinh khí cầu thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1$ km về phía Bắc và $1$ km về phía Tây, cách mặt đất $0,3$ km. Vậy tọa độ của chiếc khinh khí cầu thứ hai là $B(-1, 1, 0.3)$.

Gọi $C$ là hình chiếu của $A$ lên mặt đất, $D$ là hình chiếu của $B$ lên mặt đất. Khi đó $C(3, -2, 0)$ và $D(-1, 1, 0)$.

Gọi $M$ là vị trí người đứng trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. $M$ là hình chiếu của đoạn thẳng $AB$ lên mặt đất.

Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $Oxy$. Khi đó $M'(3, -2, -0.5)$.

Ta có $BM + AM = BM + AM'$. Tổng này nhỏ nhất khi $B, M, M'$ thẳng hàng.

$M$ là giao điểm của $BM'$ và mặt phẳng $Oxy$.

Phương trình đường thẳng $BM'$ là:

$\frac{x+1}{3+1} = \frac{y-1}{-2-1} = \frac{z-0.3}{-0.5-0.3}$

$\frac{x+1}{4} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-0.3}{-0.8}$

$M$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $z=0$.

$\frac{x+1}{4} = \frac{y-1}{-3} = \frac{-0.3}{-0.8}$

$\frac{x+1}{4} = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\frac{y-1}{-3} = \frac{3}{8} \Rightarrow y = 1 - \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}$

Vậy $M(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8}, 0)$.

$AM = \sqrt{(3 - \frac{1}{2})^2 + (-2 + \frac{1}{8})^2 + (0.5 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (-\frac{15}{8})^2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{225}{64} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{400+225+16}{64}} = \sqrt{\frac{641}{64}} \approx 3.165$

$BM = \sqrt{(-1-\frac{1}{2})^2 + (1 + \frac{1}{8})^2 + (0.3-0)^2} = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{9}{8})^2 + \frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{81}{64} + \frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{14400 + 8100 + 576}{6400}} = \sqrt{\frac{23076}{6400}} \approx 1.899$

$AM + BM \approx 5.064$

$AM + BM = 5.1$

Đáp số: $5,1$ $km$.