làm giúp với Bài 3. Cho biểu thức: $A=\frac{x^2+x-2}x,~B=\frac{x-1}{x+1}+\frac{3x-x^2}{x^2-1}$ với $x
e0,~x
e\pm1.$,a) Tính giá trị biểu thức A với $x=3;$,b) Rút gọn biểu thức B;,c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $P=A.B$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5041778,"userName":"Cao Thái Dương"}

a) Với $x = 3$, ta có:

$A = \frac{x^2 + x - 2}{x} = \frac{3^2 + 3 - 2}{3} = \frac{9 + 3 - 2}{3} = \frac{10}{3}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ với $x=3$ là $\frac{10}{3}$.

b) Ta có:

$B = \frac{x-1}{x+1} + \frac{3x-x^2}{x^2-1} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{3x-x^2}{(x-1)(x+1)}$

$= \frac{(x-1)^2 + 3x-x^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - 2x + 1 + 3x - x^2}{(x-1)(x+1)}$

$= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x-1}$

Vậy $B = \frac{1}{x-1}$

c) $P = A.B = \frac{x^2 + x - 2}{x} . \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x} . \frac{1}{x-1} = \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

Do $x$ nguyên nên $P$ nguyên khi $\frac{2}{x}$ nguyên, tức là $x$ là ước của $2$.

Vậy $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Do $x e 0, x e \pm 1$ nên $x \in \{-2, 2\}$.

* Nếu $x=-2$ thì $P = 1 + \frac{2}{-2} = 1 - 1 = 0$.

* Nếu $x=2$ thì $P = 1 + \frac{2}{2} = 1+1 = 2$.

Vậy $P_{min} = 0$ khi $x=-2$.

Vậy giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P=A.B$ đạt giá trị nhỏ nhất là $x=-2$.

Timi · Answer

Bài 3.
a) Tính giá trị biểu thức A với $x=3:$

Thay $x=3$ vào biểu thức $A,$ ta được:
$$ A = \frac{3^2 + 3 - 2}{3} = \frac{9 + 3 - 2}{3} = \frac{10}{3} $$

b) Rút gọn biểu thức B:

Ta có:
$$ B = \frac{x-1}{x+1} + \frac{3x - x^2}{x^2 - 1} $$

Nhận thấy rằng $x^2 - 1 = (x-1)(x+1),$ do đó:
$$ B = \frac{x-1}{x+1} + \frac{3x - x^2}{(x-1)(x+1)} $$

Rút gọn phân thức thứ hai:
$$ B = \frac{x-1}{x+1} + \frac{-x(x-3)}{(x-1)(x+1)} $$

Tìm mẫu chung và quy đồng:
$$ B = \frac{(x-1)^2 - x(x-3)}{(x-1)(x+1)} $$
$$ B = \frac{x^2 - 2x + 1 - x^2 + 3x}{(x-1)(x+1)} $$
$$ B = \frac{x + 1}{(x-1)(x+1)} $$

Rút gọn:
$$ B = \frac{1}{x-1} $$

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $P = A.B$ đạt giá trị nhỏ nhất:

Ta có:
$$ P = A.B = \left( \frac{x^2 + x - 2}{x} \right) \left( \frac{1}{x-1} \right) $$

Rút gọn biểu thức:
$$ P = \frac{x^2 + x - 2}{x(x-1)} $$
$$ P = \frac{(x-1)(x+2)}{x(x-1)} $$
$$ P = \frac{x+2}{x} $$

Để biểu thức $P$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta xét:
$$ P = 1 + \frac{2}{x} $$

Giá trị nhỏ nhất của $\frac{2}{x}$ là khi $x$ lớn nhất. Vì $x$ là số nguyên và $x \neq 0, \pm 1$, ta xét các giá trị gần nhất với 0 nhưng không bằng 0, $\pm 1$.

Khi $x = 2$:
$$ P = 1 + \frac{2}{2} = 2 $$

Khi $x = -2$:
$$ P = 1 + \frac{2}{-2} = 0 $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $P$ là 0, đạt được khi $x = -2$.

Đáp số: 
a) $A = \frac{10}{3}$
b) $B = \frac{1}{x-1}$
c) Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 0, đạt được khi $x = -2$.