giúp em với ạ

Câu 1: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì một phân số không thể có mẫu số bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ x - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x \neq 1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính số cách chọn 3 học sinh từ 48 học sinh để tham gia Ban chấp hành Đoàn, trong đó có 1 bí thư và 2 ủy viên. Bước 1: Chọn bí thư. - Có 48 học sinh, nên có 48 cách để chọn bí thư. Bước 2: Chọn 2 ủy viên từ 47 học sinh còn lại. - Số cách chọn 2 ủy viên từ 47 học sinh còn lại là \( C^2_{47} \). Bước 3: Tính tổng số cách chọn. - Tổng số cách chọn là tích của số cách chọn bí thư và số cách chọn 2 ủy viên: \[ 48 \times C^2_{47} \] Ta biết rằng \( C^2_{47} = \frac{47!}{2!(47-2)!} = \frac{47 \times 46}{2 \times 1} = 1081 \). Do đó, tổng số cách chọn là: \[ 48 \times 1081 = 51888 \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả này. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho: A. \( C^3_{18} \) B. \( 48A^2_{48} \) C. \( A^3_{10} \) D. \( 480^7 \) Trong đó, \( A^2_{48} \) là số cách sắp xếp 2 học sinh từ 48 học sinh, tức là: \[ A^2_{48} = 48 \times 47 \] Vậy: \[ 48 \times A^2_{48} = 48 \times (48 \times 47) = 48 \times 2256 = 108288 \] Như vậy, đáp án đúng là B. \( 48A^2_{48} \). Đáp án: B. \( 48A^2_{48} \). Câu 3: Để tìm số học sinh của nhóm, ta sử dụng công thức tính điểm trung bình: \[ \text{Điểm trung bình} = \frac{\text{Tổng điểm}}{\text{Số học sinh}} \] Biết rằng điểm trung bình của nhóm là 8,1 và tổng điểm của nhóm là 72,9, ta có thể viết phương trình: \[ 8,1 = \frac{72,9}{N} \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm N: \[ N = \frac{72,9}{8,1} \] Thực hiện phép chia: \[ N = 9 \] Vậy số học sinh của nhóm là 9. Đáp án đúng là: B. 9 Câu 4: Để kiểm tra xem mỗi cặp số có thỏa mãn bất phương trình $x - 4y + 5 \geq 0$ hay không, ta lần lượt thay các giá trị của $x$ và $y$ vào bất phương trình và kiểm tra điều kiện. A. Với cặp số $(-5; 0)$: \[ x = -5, y = 0 \] Thay vào bất phương trình: \[ -5 - 4(0) + 5 = -5 + 0 + 5 = 0 \] Ta có $0 \geq 0$, nên cặp số này thỏa mãn bất phương trình. B. Với cặp số $(-2; 1)$: \[ x = -2, y = 1 \] Thay vào bất phương trình: \[ -2 - 4(1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1 \] Ta có $-1 < 0$, nên cặp số này không thỏa mãn bất phương trình. C. Với cặp số $(1; -3)$: \[ x = 1, y = -3 \] Thay vào bất phương trình: \[ 1 - 4(-3) + 5 = 1 + 12 + 5 = 18 \] Ta có $18 > 0$, nên cặp số này thỏa mãn bất phương trình. D. Với cặp số $(0; 0)$: \[ x = 0, y = 0 \] Thay vào bất phương trình: \[ 0 - 4(0) + 5 = 0 + 0 + 5 = 5 \] Ta có $5 > 0$, nên cặp số này thỏa mãn bất phương trình. Như vậy, cặp số không thỏa mãn bất phương trình $x - 4y + 5 \geq 0$ là: \[ B. (-2; 1) \] Đáp án: B. $(-2; 1)$ Câu 5: Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(-1;2)$ và nhận $\overrightarrow u=(2;1)$ làm vectơ chỉ phương, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm và vectơ chỉ phương: - Điểm $A$ có tọa độ là $(-1; 2)$. - Vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ có tọa độ là $(2; 1)$. 2. Lập phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và nhận vectơ chỉ phương $(a, b)$ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Thay $(x_0, y_0) = (-1, 2)$ và $(a, b) = (2, 1)$ vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 2 + t \end{array} \right. \] 3. Kiểm tra đáp án: So sánh với các đáp án đã cho: - Đáp án A: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=1-2t\end{array}\right.$ - Đáp án B: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t \\ y=2+t\end{array}\right.$ - Đáp án C: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\ y=1+2t\end{array}\right.$ - Đáp án D: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t \\ y=2-t\end{array}\right.$ Ta thấy rằng phương trình tham số đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 2 + t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B. \left\{\begin{array}{l}x=-1+2t \\ y=2+t\end{array}\right.} \] Câu 6: Để tính xác suất lấy được 3 quả cầu màu xanh từ hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn 3 quả cầu từ 15 quả cầu: Số cách chọn 3 quả cầu từ 15 quả cầu là: \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 \] 2. Tính số cách chọn 3 quả cầu màu xanh từ 4 quả cầu màu xanh: Số cách chọn 3 quả cầu màu xanh từ 4 quả cầu màu xanh là: \[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4 \] 3. Tính xác suất lấy được 3 quả cầu màu xanh: Xác suất lấy được 3 quả cầu màu xanh là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 3 quả cầu màu xanh}}{\text{Tổng số cách chọn 3 quả cầu}} = \frac{4}{455} \] Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là $\frac{4}{455}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{4}{455}$. Câu 7: Để tìm số lượng các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng trăm: Có 6 lựa chọn (vì bất kỳ chữ số nào trong 1, 2, 3, 4, 5, 6 đều có thể là chữ số hàng trăm). - Chọn chữ số hàng chục: Có 5 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng trăm, còn lại 5 chữ số khác). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 4 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng trăm và hàng chục, còn lại 4 chữ số khác). Từ đó, tổng số các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là: \[ 6 \times 5 \times 4 = 120 \] Vậy đáp án đúng là: A. 120 số. Câu 8: Phương trình chính tắc của một elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào đúng với dạng này: A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 9$ và $b^2 = 1$. Do đó, $a = 3$ và $b = 1$. Phương trình này đúng với dạng chính tắc của elip. B. $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{8} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, nhưng dấu trừ giữa hai phân số cho thấy đây là phương trình của một hyperbol, không phải elip. C. $\frac{x}{9} + \frac{y}{8} = 1$ - Đây là phương trình của một đường thẳng, không phải elip. D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1$ - Đây là phương trình có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 2$ và $b^2 = 3$. Do đó, $a = \sqrt{2}$ và $b = \sqrt{3}$. Phương trình này cũng đúng với dạng chính tắc của elip. Tuy nhiên, trong các phương án đã cho, chỉ có phương án A là đúng với dạng chính tắc của elip. Vậy phương trình chính tắc của một elip là: \[ \boxed{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1} \] Câu 9: Để xác định tâm của đường tròn (C) từ phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 100 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): \[ x^2 - 2x + y^2 + 4y = 100 \] 2. Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\): - Với \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] - Với \(y\): \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 100 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 = 100 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 105 \] 4. So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\): Từ đây, ta thấy rằng tâm của đường tròn là \(I(1; -2)\). Do đó, giá trị của \(a\) là: \[ a = 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~a = 1 \] Câu 10: Để xác định mệnh đề đúng về công thức tổ hợp \( C^k_n \), chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn. Mệnh đề A: \( C^k_n = \frac{k!(n-k)!}{n!} \) - Đây không phải là công thức chuẩn của tổ hợp. Công thức này không đúng vì nó không phản ánh đúng cách tính tổ hợp. Mệnh đề B: \( C^k_n = \frac{n!}{k!} \) - Đây cũng không phải là công thức chuẩn của tổ hợp. Công thức này bỏ qua yếu tố \((n-k)!\) trong mẫu số, do đó không đúng. Mệnh đề C: \( C^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \) - Đây không phải là công thức chuẩn của tổ hợp. Công thức này bỏ qua yếu tố \(k!\) trong mẫu số, do đó không đúng. Mệnh đề D: \( C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) - Đây là công thức chuẩn của tổ hợp. Công thức này đúng vì nó phản ánh đúng cách tính tổ hợp từ \(n\) phần tử lấy \(k\) phần tử. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ D.~C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Đáp án: D. Câu 11: Để tìm tập hợp \( A \setminus B \), ta cần xác định các phần tử thuộc tập hợp \( A \) nhưng không thuộc tập hợp \( B \). Tập hợp \( A = \{-3, -1, 1, 2, 4, 5\} \) Tập hợp \( B = \{-2, -1, 0, 2, 3, 5\} \) Ta sẽ kiểm tra từng phần tử của tập hợp \( A \): - Phần tử \(-3\) thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - Phần tử \(-1\) thuộc cả \( A \) và \( B \). - Phần tử \(1\) thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - Phần tử \(2\) thuộc cả \( A \) và \( B \). - Phần tử \(4\) thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \). - Phần tử \(5\) thuộc cả \( A \) và \( B \). Như vậy, các phần tử thuộc \( A \) nhưng không thuộc \( B \) là \(-3, 1, 4\). Do đó, tập hợp \( A \setminus B = \{-3, 1, 4\} \). Đáp án đúng là: \( A.~A \setminus B = \{-3, 1, 4\} \). Câu 12: Để tìm bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), ta sử dụng công thức liên quan đến diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp: \[ R = \frac{abc}{4S} \] Trong đó: - \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tam giác. - \( S \) là diện tích của tam giác. Trước tiên, ta cần tính diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \). Ta sử dụng công thức tính diện tích dựa trên hai cạnh và góc giữa chúng: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{A}) \] Biết rằng \( AB = 3 \), \( AC = 6 \), và \( \widehat{A} = 60^\circ \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{3} \] \[ S = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Tiếp theo, ta cần biết độ dài cạnh \( BC \). Ta sử dụng định lý余弦来计算边BC的长度： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A}) \] 代入已知值： \[ BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ BC^2 = 9 + 36 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 9 + 36 - 18 \] \[ BC^2 = 27 \] \[ BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \] 现在我们有了所有三边的长度：\( AB = 3 \)，\( AC = 6 \)，\( BC = 3\sqrt{3} \)。我们可以使用外接圆半径公式： \[ R = \frac{abc}{4S} \] 代入已知值： \[ R = \frac{3 \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3}}{4 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}} \] \[ R = \frac{54\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} \] \[ R = 3 \] 因此，外接圆的半径 \( R \) 是 3。 答案是：B. \( R = 3 \) Câu 1. a) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu trên là 2: - Xác định các giá trị ở các vị trí tương ứng với các tử phân vị: - Q1 (Phân vị thứ nhất) nằm ở vị trí $\frac{40 + 1}{4} = 10,25$, tức là gần với giá trị thứ 10 và 11. - Q3 (Phân vị thứ ba) nằm ở vị trí $\frac{3(40 + 1)}{4} = 30,75$, tức là gần với giá trị thứ 30 và 31. - Dựa vào bảng phân phối tần số: - Q1 nằm giữa giá trị thứ 10 và 11, cả hai đều là 2. - Q3 nằm giữa giá trị thứ 30 và 31, cả hai đều là 3. - Vậy khoảng tử phân vị là Q3 - Q1 = 3 - 2 = 1. b) Số trung vị của mẫu số liệu trên là 3: - Xác định vị trí của trung vị: - Trung vị nằm ở vị trí $\frac{40 + 1}{2} = 20,5$, tức là giữa giá trị thứ 20 và 21. - Dựa vào bảng phân phối tần số: - Giá trị thứ 20 và 21 đều là 3. - Vậy trung vị là 3. c) Mốt của mẫu số liệu trên là 4: - Xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất: - Giá trị 3 xuất hiện 12 lần, nhiều hơn bất kỳ giá trị nào khác. - Vậy mốt là 3. d) Số trung bình của mẫu số liệu trên bằng 5: - Tính tổng số lần học tiếng Anh: - Tổng số lần học = 0 × 3 + 1 × 5 + 2 × 7 + 3 × 12 + 4 × 9 + 5 × 4 = 0 + 5 + 14 + 36 + 36 + 20 = 111. - Tính số trung bình: - Số trung bình = $\frac{111}{40} = 2,775$. Vậy đáp án đúng là: a) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu trên là 1. b) Số trung vị của mẫu số liệu trên là 3. c) Mốt của mẫu số liệu trên là 3. d) Số trung bình của mẫu số liệu trên bằng 2,775. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về số lượng bi được lấy ra từ hộp. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cung cấp, chúng ta có thể xác định tổng số bi trong hộp và xác suất của mỗi loại bi. Tổng số bi trong hộp là: \[ 7 + 5 = 12 \] Xác suất lấy được một bi xanh là: \[ \frac{7}{12} \] Xác suất lấy được một bi đỏ là: \[ \frac{5}{12} \] Bây giờ, giả sử chúng ta lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp. Chúng ta sẽ có hai trường hợp có thể xảy ra: 1. Lấy được một bi xanh. 2. Lấy được một bi đỏ. Xác suất của mỗi trường hợp là như sau: - Xác suất lấy được một bi xanh là $\frac{7}{12}$. - Xác suất lấy được một bi đỏ là $\frac{5}{12}$. Để làm rõ hơn, chúng ta có thể viết lại như sau: - Nếu lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp, xác suất lấy được một bi xanh là $\frac{7}{12}$. - Nếu lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp, xác suất lấy được một bi đỏ là $\frac{5}{12}$. Như vậy, chúng ta đã xác định được xác suất của mỗi loại bi khi lấy ngẫu nhiên từ hộp.