$2\chi^2-2\chi+\sqrt{\left(\chi+1\right)\left(\chi-2\right)}=25$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải phương trình $2x^2 - 2x + \sqrt{(x+1)(x-2)} = 25$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Biểu thức dưới dấu căn $(x+1)(x-2)$ phải không âm:
     $$
     (x+1)(x-2) \geq 0
     $$
   - Giải bất phương trình này:
     $$
     x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2
     $$

2. Biến đổi phương trình:
   - Đặt $y = \sqrt{(x+1)(x-2)}$. Khi đó, $y \geq 0$ và $y^2 = (x+1)(x-2)$.
   - Phương trình ban đầu trở thành:
     $$
     2x^2 - 2x + y = 25
     $$
   - Ta có hệ phương trình:
     $$
     \begin{cases}
     2x^2 - 2x + y = 25 \
     y^2 = (x+1)(x-2)
     \end{cases}
     $$

3. Giải hệ phương trình:
   - Từ phương trình thứ nhất, ta có:
     $$
     y = 25 - 2x^2 + 2x
     $$
   - Thay $y$ vào phương trình thứ hai:
     $$
     (25 - 2x^2 + 2x)^2 = (x+1)(x-2)
     $$
   - Mở rộng và rút gọn:
     $$
     (25 - 2x^2 + 2x)^2 = x^2 - x - 2
     $$
     $$
     625 - 100x^2 + 100x + 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 = x^2 - x - 2
     $$
     $$
     4x^4 - 8x^3 - 96x^2 + 101x + 627 = 0
     $$

4. Kiểm tra nghiệm trong khoảng đã xác định:
   - Ta thử các giá trị $x$ trong khoảng $x \leq -1$ hoặc $x \geq 2$:
     - Thử $x = 3$:
       $$
       2(3)^2 - 2(3) + \sqrt{(3+1)(3-2)} = 25
       $$
       $$
       18 - 6 + \sqrt{4 \cdot 1} = 25
       $$
       $$
       12 + 2 = 25
       $$
       $$
       14 \neq 25
       $$
     - Thử $x = 4$:
       $$
       2(4)^2 - 2(4) + \sqrt{(4+1)(4-2)} = 25
       $$
       $$
       32 - 8 + \sqrt{5 \cdot 2} = 25
       $$
       $$
       24 + \sqrt{10} \approx 25
       $$
       $$
       24 + 3.16 \approx 25
       $$
       $$
       27.16 \neq 25
       $$

5. Kết luận:
   - Sau khi kiểm tra các giá trị $x$ trong khoảng đã xác định, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn phương trình ban đầu.

Do đó, phương trình $2x^2 - 2x + \sqrt{(x+1)(x-2)} = 25$ không có nghiệm.