Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của căn thức và lũy thừa.
Bước 1: Xác định căn thức và lũy thừa.
Bước 2: Biểu diễn căn thức dưới dạng lũy thừa.
Do đó:
Bước 3: Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa.
Vậy, bằng .
Đáp án đúng là: .
Câu 2:
Thể tích của khối lập phương cạnh 2a được tính theo công thức:
Trong trường hợp này, cạnh của khối lập phương là 2a. Do đó, thể tích của khối lập phương sẽ là:
Ta thực hiện phép nhân lũy thừa:
Vậy thể tích của khối lập phương cạnh 2a là .
Đáp án đúng là: .
Câu 3:
Để giải phương trình , ta làm như sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình này không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc là số thực.
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản
Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa của :
Do đó, phương trình trở thành:
Bước 3: So sánh các lũy thừa
Vì hai vế đều có cùng cơ số là , ta có thể so sánh các mũ của chúng:
Bước 4: Giải phương trình bậc hai
Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm thực là và .
Kết luận: Số nghiệm thực của phương trình là 2.
Đáp án đúng là: A. 2.
Câu 4.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình , ta cần đảm bảo rằng . Do đó, .
Bước 2: Giải phương trình:
- Ta có . Điều này có nghĩa là .
- Tính , do đó .
- Giải phương trình , ta được .
Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định:
- Ta đã xác định . Với , điều kiện này được thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: C. 9
Câu 5:
Để tìm chiều cao của khối chóp tam giác đều, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích đáy của khối chóp:
- Đáy của khối chóp là một tam giác đều với cạnh bằng .
- Diện tích của tam giác đều được tính bằng công thức:
- Thay cạnh vào công thức:
2. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:
- Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức:
- Biết rằng thể tích , ta thay diện tích đáy và thể tích vào công thức:
- Giải phương trình để tìm chiều cao :
Vậy chiều cao của khối chóp là .
Đáp án đúng là: .
Câu 6:
Để giải bất phương trình , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Di chuyển các hạng tử để đưa về dạng chuẩn:
2. Áp dụng tính chất của lũy thừa và hàm số mũ:
Ta biết rằng hàm số là hàm số đồng biến trên tập số thực. Do đó, nếu , thì .
3. Xác định tập nghiệm:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 7:
Để tính thể tích của khối chóp tứ giác đều, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của khối chóp.
Bước 1: Tính diện tích đáy.
- Đáy của khối chóp là một hình vuông có cạnh bằng 2.
- Diện tích đáy của hình vuông là:
Bước 2: Biết chiều cao của khối chóp là 6.
Bước 3: Áp dụng công thức tính thể tích của khối chóp:
Trong đó, là diện tích đáy và là chiều cao.
Thay các giá trị vào công thức:
Vậy thể tích của khối chóp đó là 8.
Đáp án đúng là: B. 8.
Câu 8:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình logarit , ta cần đảm bảo rằng .
2. Giải phương trình:
- Phương trình có thể được viết lại dưới dạng .
- Ta biết rằng .
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Ta thấy rằng , do đó thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 9:
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Viết lại bất phương trình:
Ta nhận thấy rằng . Do đó, ta có thể viết lại bất phương trình thành:
2. So sánh các mũ:
Vì cơ số là cùng một số dương lớn hơn 1 (ở đây là 2), nên ta có thể so sánh các mũ trực tiếp:
3. Giải bất phương trình bậc hai:
Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải bất phương trình bậc hai:
4. Tìm nghiệm của bất phương trình bậc hai:
Bất phương trình có nghiệm là:
5. Viết tập nghiệm:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 10:
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD trong hình chóp SABCD, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABCD):
Vì SA vuông góc với đáy, nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là A.
2. Tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD:
- Đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và đi qua điểm C và D.
- Hình chiếu của S lên đường thẳng CD là điểm A (vì SA vuông góc với đáy).
3. Tính khoảng cách từ S đến CD:
- Khoảng cách từ S đến CD là độ dài đoạn thẳng SA.
- Vì SA = a, nên khoảng cách từ S đến CD là a.
4. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD:
- Đường thẳng SB cắt đường thẳng CD tại điểm B.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CD.
Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là a.
Đáp án đúng là: D. a.
Câu 11:
Để tính thể tích khối chóp S - ABC, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của khối chóp.
1. Tính diện tích đáy (tam giác đều ABC):
Diện tích tam giác đều cạnh a là:
2. Chiều cao của khối chóp:
Vì , nên SA chính là chiều cao của khối chóp S - ABC. Chiều cao này đã cho là .
3. Thể tích khối chóp:
Công thức tính thể tích khối chóp là:
Thay các giá trị vào công thức:
Vậy thể tích khối chóp S - ABC là:
Đáp án đúng là: .
Câu 12.
Thể tích của hình chóp S.ABCD được tính theo công thức:
Trong đó:
- Diện tích đáy là
- Chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy là
Áp dụng công thức trên, ta có:
Vậy thể tích của hình chóp S.ABCD là:
Do đó, đáp án đúng là:
B.
Đáp số: B.
Câu 13.
Ta sẽ kiểm tra từng công thức một để xác định công thức đúng.
A.
Theo tính chất của lôgarit, , không phải là . Do đó, công thức này sai.
B.
Theo tính chất của lôgarit, , không phải là . Do đó, công thức này sai.
C.
Theo tính chất của lôgarit, , không phải là . Do đó, công thức này sai.
D.
Theo tính chất của lôgarit, . Công thức này đúng.
Vậy đáp án đúng là D. .