Hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực trị? Câu 28 (4đ). Cho các hàm số $f(x)=6\pi(x-1)^2$ và,$g(x)=3f(x)+4\cos(f(x)).$ Hàm số g(x) có bao nhiêu,điểm cực trị trên khoảng $(0;2)?$

Question

Accepted Answer

Câu 28: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ g(x) $ trên khoảng $ (0;2) $, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của $ f(x) $: $$ f(x) = 6\pi(x-1)^2 $$ Đạo hàm $ f(x) $ theo $ x $: $$ f'(x) = 12\pi(x-1) $$ 2. Tìm đạo hàm của $ g(x) $: $$ g(x) = 3f(x) + 4\cos(f(x)) $$ Đạo hàm $ g(x) $ theo $ x $: $$ g'(x) = 3f'(x) - 4\sin(f(x)) \cdot f'(x) $$ Thay $ f'(x) = 12\pi(x-1) $ vào: $$ g'(x) = 3 \cdot 12\pi(x-1) - 4\sin(6\pi(x-1)^2) \cdot 12\pi(x-1) $$ $$ g'(x) = 36\pi(x-1) - 48\pi(x-1)\sin(6\pi(x-1)^2) $$ $$ g'(x) = 36\pi(x-1) \left[ 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) \right] $$ 3. Tìm các điểm tới hạn của $ g(x) $ bằng cách giải phương trình $ g'(x) = 0 $: $$ 36\pi(x-1) \left[ 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) \right] = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ 36\pi(x-1) = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) = 0 $$ $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad \sin(6\pi(x-1)^2) = \frac{1}{2} $$ 4. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $ x = 1 $ - Kiểm tra dấu của $ g'(x) $ trước và sau $ x = 1 $: $$ g'(x) = 36\pi(x-1) \left[ 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) \right] $$ Khi $ x $ gần 1 từ bên trái ($ x < 1 $): $$ 36\pi(x-1) < 0 \quad \text{và} \quad 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) > 0 $$ $$ g'(x) < 0 $$ Khi $ x $ gần 1 từ bên phải ($ x > 1 $): $$ 36\pi(x-1) > 0 \quad \text{và} \quad 1 - 2\sin(6\pi(x-1)^2) > 0 $$ $$ g'(x) > 0 $$ Vậy $ x = 1 $ là một điểm cực tiểu. - Trường hợp 2: $ \sin(6\pi(x-1)^2) = \frac{1}{2} $ - Giải phương trình: $$ 6\pi(x-1)^2 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 6\pi(x-1)^2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$ $$ (x-1)^2 = \frac{1}{36} + \frac{k}{3} \quad \text{hoặc} \quad (x-1)^2 = \frac{5}{36} + \frac{k}{3} $$ Với $ k $ là số nguyên, ta thấy rằng trong khoảng $ (0;2) $, chỉ có hai giá trị $ k $ thỏa mãn: $$ k = 0 \quad \text{và} \quad k = 1 $$ Do đó, có 2 điểm cực trị khác. Tổng cộng, hàm số $ g(x) $ có 3 điểm cực trị trên khoảng $ (0;2) $. Đáp án: 3 điểm cực trị.