Tìm x,y biết: (x + 1)^3 = 4y^2 + 4y + 1

Question

Đóm · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ღ_Hoàng _ღ"}

$$\left(x+1\right)^3=4y^2+y+1$$

$$\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=\left(2y+1\right)^2$$

VÌ $$\left(2y+1\right)^2\ge0\forall y\Rightarrow\left(x+1\right)^3\ge0$$

Dấu '=' xảy ra $$\Leftrightarrow\left(2y+1\right)^2=0,\left(x+1\right)^3=0$$

$$\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2};x=-1$$

Timi · Answer

Để tìm $ x $ và $ y $ biết $(x + 1)^3 = 4y^2 + 4y + 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định dạng của vế phải.
Ta nhận thấy rằng $ 4y^2 + 4y + 1 $ có thể viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh:
$$ 4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2 $$

Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu.
Phương trình trở thành:
$$ (x + 1)^3 = (2y + 1)^2 $$

Bước 3: Xét các trường hợp có thể xảy ra.
- Trường hợp 1: $ x + 1 = 0 $
  $$ x = -1 $$
  Thay vào phương trình:
  $$ (-1 + 1)^3 = (2y + 1)^2 $$
  $$ 0 = (2y + 1)^2 $$
  Điều này đúng khi $ 2y + 1 = 0 $:
  $$ 2y = -1 $$
  $$ y = -\frac{1}{2} $$

- Trường hợp 2: $ x + 1 \neq 0 $
  Ta xét $ (x + 1)^3 = (2y + 1)^2 $. Để hai vế bằng nhau, $ x + 1 $ phải là một số chính phương. Do đó, $ x + 1 = k^2 $ với $ k $ là số nguyên.
  $$ x = k^2 - 1 $$
  Thay vào phương trình:
  $$ (k^2 - 1 + 1)^3 = (2y + 1)^2 $$
  $$ k^6 = (2y + 1)^2 $$
  Điều này đúng khi $ k^3 = 2y + 1 $:
  $$ 2y = k^3 - 1 $$
  $$ y = \frac{k^3 - 1}{2} $$

Bước 4: Kết luận.
- Trường hợp 1: $ x = -1 $ và $ y = -\frac{1}{2} $
- Trường hợp 2: $ x = k^2 - 1 $ và $ y = \frac{k^3 - 1}{2} $ với $ k $ là số nguyên.

Vậy, các cặp $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình là:
$$ (x, y) = (-1, -\frac{1}{2}) $$
$$ (x, y) = (k^2 - 1, \frac{k^3 - 1}{2}) \text{ với } k \text{ là số nguyên} $$