Cho AB và CD là 2 đường kính vuông góc với nhau của đường tròn (O; R). Kẻ dây CE qua trung điểm I của bán kính OB, kẻ đường cao AH cảu tam giác ACE. a) Tính độ dài CE, AH b) Chứng minh góc CAI bằng góc...

Dương Gia Bảo

a) Tính độ dài $CE, AH$

Vì I là trung điểm của OB nên $OI = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}R$.

Xét tam giác vuông OIE, ta có $OE^2 = OI^2 + IE^2$.

Mà OE = R, nên $R^2 = (\frac{1}{2}R)^2 + IE^2$, suy ra $IE^2 = \frac{3}{4}R^2$ hay $IE = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác OEC cân tại O (OE = OC = R), ta có:

$CE = 2EI = R\sqrt{3}$.

Xét tam giác vuông ACE nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC, AH là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$AH \cdot AC = AE \cdot CE$

$AH = \frac{AE \cdot CE}{AC}$.

Gọi J là giao điểm của AB và CE. Do AB vuông góc với CD, CE cắt CD tại I nên IJ vuông góc với AB.

Xét tam giác AJC, ta có: $AC^2 = AB^2 = (2R)^2 = 4R^2$, suy ra $AC = 2R$.

Theo định lý Pytago, ta có $AE^2 = AC^2 - CE^2 = (2R)^2 - (R\sqrt{3})^2 = R^2$. Vậy $AE = R$.

Suy ra $AH = \frac{R \cdot R\sqrt{3}}{2R} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

b) Chứng minh $\angle CAI = \angle IEA$

Ta có $\angle CAI$ là góc nội tiếp chắn cung CI.

$\angle IEA = \angle IEC$ là góc tạo bởi dây cung CE và tiếp tuyến tại E.

$\angle IEA = \frac{1}{2} sd( cung CE)$

$\angle CAI = \frac{1}{2} sd(cung CI)$.

Do AB và CD là hai đường kính vuông góc nên cung CI bằng cung CE.

Suy ra $\angle CAI = \angle IEA$.

c) Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: $AK \cdot AE + BK \cdot BD = 4R^2$

Ta có $\angle AEB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\angle ADB = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, tam giác AEB và ADB là tam giác vuông.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AEB, ta có $AK \cdot AE = AB^2$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADB, ta có $BK \cdot BD = AB^2$.

Suy ra $AK \cdot AE + BK \cdot BD = AB^2 + AB^2 = 2AB^2 = 2(2R)^2 = 8R^2$.

d) Tính thể tích của hình khối sinh ra do tam giác CID quay quanh CD.

Thể tích hình khối sinh ra khi tam giác CID quay quanh CD là thể tích hình nón có chiều cao CI và bán kính đáy ID.

Ta có $CI = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

$ID = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$.

Thể tích hình nón là $V = \frac{1}{3}\pi ID^2 \cdot CI = \frac{1}{3}\pi (\frac{3R}{2})^2 \cdot \frac{R}{2} = \frac{1}{3}\pi \frac{9R^2}{4} \cdot \frac{R}{2} = \frac{3\pi R^3}{8}$.

Kết luận: Câu c, đáp án phải là $8R^2$.