giup minh vs II. Tự luận,Câu 1 (1,5 điểm). Cho hình vuông ABCD và điểm E,thuộc cạnh BC . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với,DE , đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC,theo thứ tự ở I và K .,a) Chứng minh tứ giác BICD là tứ giác nội tiếp.,b) Tính góc CIK và chứng minh $KC~KD=KI~KB$

Question

Accepted Answer

{"userId":5401575,"userName":"Apple_Ky4jK3IxI3bPSUp8q0lp3mjm3E73"}

a)

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BCD} = 90^\circ$.

Do BI vuông góc với DE nên $\widehat{DIB} = 90^\circ$.

Tứ giác BICD có $\widehat{BCD} = \widehat{DIB} = 90^\circ$ nên BICD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BD.

b)

Tứ giác BICD nội tiếp nên $\widehat{BIC} + \widehat{BDC} = 180^\circ$.

Mà $\widehat{BDC} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông) nên $\widehat{BIC} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Do BI $\perp$ DE nên $\widehat{DIB} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{CIK} = 180^\circ - \widehat{BIC} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Vì BI vuông góc với DE tại I nên I là giao điểm hai đường chéo hình vuông BKIE, suy ra $\widehat{CIK} = 45^\circ$.

Xét tam giác CKD vuông cân tại C có CK = CD = BC và $\widehat{CKD} = 45^\circ$.

Xét tam giác vuông KBC có $BK^2 = BC^2 + CK^2 = 2BC^2$, suy ra $BK = BC\sqrt{2}$.

Do $ riangle{KCD}$ vuông cân tại C nên $KD = CD\sqrt{2} = BC\sqrt{2}$.

Xét $ riangle{KBC}$ và $ riangle{KID}$:

- $\widehat{KBC} = \widehat{KID} = 90^\circ$

- $\widehat{CKB} = 90^\circ - \widehat{DKC} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \widehat{DIK}$

$\Rightarrow riangle{KBC} \backsim riangle{KID}$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{KC}{KI} = \frac{KB}{KD}$

$\Rightarrow KC.KD = KI.KB$.