Tìm $x$ để biểu thức: $A = \dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 2}$ đạt GTNN

Điều kiện xác định: \( x \neq 1; x \neq -2 \) Ta có: \[ A = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức thành dạng tổng của các phân số có tử số dương hoặc âm. Xét \( A \): \[ A = \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 2} \] Nhận thấy rằng \( A \) phụ thuộc vào \( x \). Ta sẽ tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất. Biến đổi \( A \): \[ A = \frac{2(x + 2) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} \] \[ A = \frac{2x + 4 + 3x - 3}{(x - 1)(x + 2)} \] \[ A = \frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)} \] Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( \frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Xét \( \frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 2)} \): - Khi \( x = 0 \): \[ A = \frac{5(0) + 1}{(0 - 1)(0 + 2)} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \] - Khi \( x = -1 \): \[ A = \frac{5(-1) + 1}{(-1 - 1)(-1 + 2)} = \frac{-5 + 1}{-2 \cdot 1} = \frac{-4}{-2} = 2 \] - Khi \( x = 2 \): \[ A = \frac{5(2) + 1}{(2 - 1)(2 + 2)} = \frac{10 + 1}{1 \cdot 4} = \frac{11}{4} = 2.75 \] So sánh các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -\frac{1}{2} \) khi \( x = 0 \). Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( -\frac{1}{2} \), đạt được khi \( x = 0 \).