Câu 31. Cho phép thử có không gian mẫu Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} Gọi A là biến cố “Chọn ra số lẻ". Xác định biển cổ overline A A. overline A = 1 ,2,3 . B. overline A = 2 ,4,6 C. overline A = 4 ,2...

Câu 31. Để xác định biến cố $\overline{A}$, ta cần hiểu rằng $\overline{A}$ là biến cố đối lập của biến cố $A$. Biến cố $A$ là "Chọn ra số lẻ", tức là các số trong không gian mẫu $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ mà là số lẻ. Các số lẻ trong $\Omega$ là: 1, 3, 5. Do đó, biến cố $A$ là: \[ A = \{1, 3, 5\} \] Biến cố đối lập $\overline{A}$ sẽ bao gồm tất cả các phần tử còn lại trong không gian mẫu $\Omega$, tức là các số chẵn: \[ \overline{A} = \{2, 4, 6\} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\overline{A} = \{2, 4, 6\}$ Câu 1: a) Không gian mẫu có 10 kết quả Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 10. Các số nguyên dương không lớn hơn 10 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Vậy không gian mẫu có 10 kết quả. b) Gọi A là biến cố: "Chọn được một số chính phương", khi đó n(A) = 2 Số chính phương là số có dạng \( n^2 \), trong đó n là số nguyên. Các số chính phương không lớn hơn 10 là: 1 (\( 1^2 \)) và 4 (\( 2^2 \)). Vậy biến cố A có 2 kết quả. c) Gọi B là biến cố: "Chọn được một số chẵn", khi đó n(B) = 5 Các số chẵn không lớn hơn 10 là: 2, 4, 6, 8, 10. Vậy biến cố B có 5 kết quả. d) Gọi C là biến cố: "Chọn được một số lẻ", khi đó n(C) = 6 Các số lẻ không lớn hơn 10 là: 1, 3, 5, 7, 9. Vậy biến cố C có 6 kết quả. Đáp số: a) Không gian mẫu có 10 kết quả. b) Biến cố A có 2 kết quả. c) Biến cố B có 5 kết quả. d) Biến cố C có 6 kết quả. Câu 2: a) Số cách chọn 4 bông tùy ý là: Tổng số bông hoa là 5 + 4 = 9 bông. Số cách chọn 4 bông từ 9 bông là: \[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \text{ (cách)} \] b) Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: Để số bông mỗi màu bằng nhau, ta phải chọn 2 bông hồng và 2 bông trắng. Số cách chọn 2 bông hồng từ 5 bông là: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 2 bông trắng từ 4 bông là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông mà số bông mỗi màu bằng nhau là: \[ 10 \times 6 = 60 \text{ (cách)} \] c) Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: Số cách chọn 3 bông hồng từ 5 bông là: \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 1 bông trắng từ 4 bông là: \[ C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông, trong đó có 3 bông hồng và 1 bông trắng là: \[ 10 \times 4 = 40 \text{ (cách)} \] d) Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu: Số cách chọn 4 bông từ 9 bông là 126 cách (như đã tính ở phần a). Số cách chọn 4 bông cùng một màu là: - Chọn 4 bông hồng từ 5 bông: \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5}{1} = 5 \text{ (cách)} \] - Chọn 4 bông trắng từ 4 bông: \[ C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông cùng một màu là: \[ 5 + 1 = 6 \text{ (cách)} \] Số cách chọn 4 bông có đủ hai màu là: \[ 126 - 6 = 120 \text{ (cách)} \] Đáp số: a) 126 cách b) 60 cách c) 40 cách d) 120 cách Câu 3: Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ áp dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn các viên bi theo yêu cầu. a) Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng - Số cách chọn 2 bi xanh từ 6 bi xanh: \[ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] - Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \[ \binom{5}{1} = 5 \] - Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng: \[ \binom{4}{1} = 4 \] Tổng số cách chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng: \[ 15 \times 5 \times 4 = 300 \] b) Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng - Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh: \[ \binom{6}{1} = 6 \] - Số cách chọn 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] - Số cách chọn 1 bi vàng từ 4 bi vàng: \[ \binom{4}{1} = 4 \] Tổng số cách chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng: \[ 6 \times 10 \times 4 = 240 \] c) Chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng - Số cách chọn 1 bi xanh từ 6 bi xanh: \[ \binom{6}{1} = 6 \] - Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \[ \binom{5}{1} = 5 \] - Số cách chọn 2 bi vàng từ 4 bi vàng: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] Tổng số cách chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng: \[ 6 \times 5 \times 6 = 180 \] d) Có 600 cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp sao cho có đủ cả ba màu Để có đủ cả ba màu, chúng ta có thể chọn theo các trường hợp đã nêu ở trên: - Trường hợp 1: 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi vàng (300 cách) - Trường hợp 2: 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi vàng (240 cách) - Trường hợp 3: 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi vàng (180 cách) Tổng số cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả ba màu: \[ 300 + 240 + 180 = 720 \] Như vậy, đáp án đúng là: \[ \text{a) 300 cách} \] \[ \text{b) 240 cách} \] \[ \text{c) 180 cách} \] \[ \text{d) 720 cách} \] Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) Hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\vec{u}_{1} = (5; -6)$ và $\vec{u}_{2} = (5; 6)$. - Đường thẳng $\Delta_{1}$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 + 5t \\ y = 3 - 6t \end{cases} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_{1}$ là $\vec{u}_{1} = (5; -6)$. - Đường thẳng $\Delta_{2}$ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 7 + 5t \\ y = -3 + 6t \end{cases} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của $\Delta_{2}$ là $\vec{u}_{2} = (5; 6)$. Do đó, lựa chọn a) là đúng. b) Hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ song song. - Để hai đường thẳng song song, vectơ chỉ phương của chúng phải cùng phương, tức là tỉ lệ của các thành phần tương ứng phải bằng nhau. Ta có: \[ \frac{5}{5} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{-6}{6} = -1 \] Vì tỉ lệ không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song. Do đó, lựa chọn b) là sai. c) M(7; 3) là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$. - Ta thay tọa độ điểm M(7; 3) vào phương trình của $\Delta_{1}$: \[ \begin{cases} 7 = 2 + 5t \\ 3 = 3 - 6t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 7 = 2 + 5t \implies 5t = 5 \implies t = 1 \] Thay $t = 1$ vào phương trình thứ hai: \[ 3 = 3 - 6 \cdot 1 \implies 3 = -3 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm M(7; 3) không thuộc đường thẳng $\Delta_{1}$. - Ta thay tọa độ điểm M(7; 3) vào phương trình của $\Delta_{2}$: \[ \begin{cases} 7 = 7 + 5t \\ 3 = -3 + 6t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 7 = 7 + 5t \implies 5t = 0 \implies t = 0 \] Thay $t = 0$ vào phương trình thứ hai: \[ 3 = -3 + 6 \cdot 0 \implies 3 = -3 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm M(7; 3) không thuộc đường thẳng $\Delta_{2}$. Do đó, lựa chọn c) là sai. d) $\Delta_{1}$ và $\Delta_{2}$ vuông góc với nhau. - Để hai đường thẳng vuông góc, tích vô hướng của vectơ chỉ phương của chúng phải bằng 0. Ta có: \[ \vec{u}_{1} \cdot \vec{u}_{2} = 5 \cdot 5 + (-6) \cdot 6 = 25 - 36 = -11 \neq 0 \] Do đó, hai đường thẳng không vuông góc. Do đó, lựa chọn d) là sai. Kết luận: Lựa chọn đúng là a). Câu 5: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một cách chi tiết. a) Delta_{1} có vectơ pháp tuyến overline n_{1} = (-1; -1) Phương trình của đường thẳng \( \Delta_1 \) là: \[ x - y - 3 = 0 \] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( \Delta_1 \) là \( \overline{n}_1 = (1; -1) \). Do đó, phương án a) là sai vì vectơ pháp tuyến của \( \Delta_1 \) là \( (1; -1) \), không phải \( (-1; -1) \). b) Delta_{2} có vectơ pháp tuyến overline n_{2} = (2; -1) Phương trình của đường thẳng \( \Delta_2 \) là: \[ 2x + y = 0 \] Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( \Delta_2 \) là \( \overline{n}_2 = (2; 1) \). Do đó, phương án b) là sai vì vectơ pháp tuyến của \( \Delta_2 \) là \( (2; 1) \), không phải \( (2; -1) \). c) Hai đường thẳng Delta_{1} và Delta_{2} cắt nhau Để kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau hay không, chúng ta cần kiểm tra xem chúng có cùng hướng vectơ pháp tuyến hay không. - Vectơ pháp tuyến của \( \Delta_1 \) là \( (1; -1) \). - Vectơ pháp tuyến của \( \Delta_2 \) là \( (2; 1) \). Hai vectơ pháp tuyến này không cùng phương, do đó hai đường thẳng \( \Delta_1 \) và \( \Delta_2 \) cắt nhau. Do đó, phương án c) là đúng. d) Delta_{1} và Delta_{2} cắt nhau tại điểm có tọa độ (7/2; -2/3) Để tìm giao điểm của hai đường thẳng, chúng ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = -2x \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ x - (-2x) - 3 = 0 \] \[ x + 2x - 3 = 0 \] \[ 3x - 3 = 0 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = -2x \): \[ y = -2(1) = -2 \] Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \( (1; -2) \), không phải \( \left(\frac{7}{2}; -\frac{2}{3}\right) \). Do đó, phương án d) là sai. Kết luận Phương án đúng là: c) Hai đường thẳng \( \Delta_1 \) và \( \Delta_2 \) cắt nhau.