Nsjsndhđndji

Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao SA của hình chóp S.ABC: - Diện tích tam giác ABS là \(3a^2\). - Tam giác ABC đều cạnh 2a, do đó diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2a)^2 = \sqrt{3}a^2 \] - Vì SA vuông góc với (ABC), nên diện tích tam giác ABS cũng có thể được tính bằng: \[ S_{ABS} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times SA = a \times SA \] - Do đó: \[ a \times SA = 3a^2 \implies SA = 3a \] 2. Tìm tọa độ của điểm M trên SA: - Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(AM = 2MS\). Điều này có nghĩa là M chia đoạn SA thành tỉ lệ 2:1. - Vậy M nằm ở vị trí \(\frac{2}{3}\) đoạn SA từ A: \[ SM = \frac{1}{3}SA = \frac{1}{3} \times 3a = a \] \[ AM = \frac{2}{3}SA = \frac{2}{3} \times 3a = 2a \] 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC): - Ta cần tìm khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). Để làm điều này, ta sẽ tính thể tích của khối chóp M.SBC và sử dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách. - Thể tích của khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \sqrt{3}a^2 \times 3a = \sqrt{3}a^3 \] - Thể tích của khối chóp M.SBC là: \[ V_{M.SBC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d \] trong đó \(d\) là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). 4. Tính diện tích tam giác SBC: - Tam giác SBC có SB = SC = \(\sqrt{(SA)^2 + (AB/2)^2} = \sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{9a^2 + 3a^2} = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}\) - Diện tích tam giác SBC là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times \text{chiều cao từ S đến BC} \] Chiều cao từ S đến BC là: \[ h = \sqrt{(SB)^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{(2a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{12a^2 - 3a^2} = \sqrt{9a^2} = 3a \] Do đó: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times 2a \times 3a = 3a^2 \] 5. Tính thể tích của khối chóp M.SBC: - Thể tích của khối chóp M.SBC là: \[ V_{M.SBC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d = \frac{1}{3} \times 3a^2 \times d = a^2d \] - Vì M chia SA thành tỉ lệ 2:1, nên thể tích của khối chóp M.SBC là \(\frac{1}{3}\) thể tích của khối chóp S.ABC: \[ V_{M.SBC} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3}a^3 = \frac{\sqrt{3}a^3}{3} \] - Do đó: \[ a^2d = \frac{\sqrt{3}a^3}{3} \implies d = \frac{\sqrt{3}a}{3} \] Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3}a}{3}} \]