Giải toán hộ với ạ

Câu 1. Để tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình lập phương, ta cần xác định góc giữa hai đường thẳng nằm trên mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (ACC'A') chia sẻ giao tuyến AC. - Mặt phẳng (ABCD) có đường thẳng BD vuông góc với AC. - Mặt phẳng (ACC'A') có đường thẳng AA' vuông góc với AC. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') sẽ là góc giữa hai đường thẳng BD và AA'. Trong hình lập phương, AA' vuông góc với đáy ABCD, do đó AA' cũng vuông góc với BD. Vì vậy, góc giữa BD và AA' là 90°. Tuy nhiên, góc giữa hai mặt phẳng không phải là góc giữa hai đường thẳng này mà là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến AC và nằm trên mỗi mặt phẳng. Ta xét góc giữa đường thẳng BD và đường thẳng AA'. Vì AA' vuông góc với đáy ABCD, nên góc giữa BD và AA' chính là góc giữa đường thẳng BD và đường thẳng AA' khi chiếu xuống đáy ABCD. Trong hình lập phương, đường thẳng BD nằm trên mặt đáy ABCD và AA' vuông góc với đáy ABCD. Do đó, góc giữa BD và AA' là 45°. Vậy góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (ACC'A') là 45°. Đáp án đúng là: D. 45°. Câu 2. Để xác định các cặp biến cố không đối nhau, ta cần kiểm tra xem tổng hợp của hai biến cố có bao phủ toàn bộ không gian mẫu $\Omega$ hay không. Cụ thể, nếu $A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau thì $A \cup B = \Omega$ và $A \cap B = \emptyset$. Ta sẽ kiểm tra từng cặp biến cố: A. $E = \{1, 4, 6\}$ và $F = \{2, 3\}$: - $E \cup F = \{1, 2, 3, 4, 6\}$, không bao phủ toàn bộ $\Omega$ vì thiếu số 5. - $E \cap F = \emptyset$, không có phần chung. B. $Q$ và $O$: - Không có thông tin về các biến cố $Q$ và $O$, nên không thể kiểm tra. C. $C = \{1, 4, 5\}$ và $D = \{2, 3, 6\}$: - $C \cup D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$, bao phủ toàn bộ $\Omega$. - $C \cap D = \emptyset$, không có phần chung. D. $A = \{1\}$ và $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$: - $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} = \Omega$, bao phủ toàn bộ $\Omega$. - $A \cap B = \emptyset$, không có phần chung. Như vậy, các cặp biến cố không đối nhau là: - A. $E = \{1, 4, 6\}$ và $F = \{2, 3\}$ (vì $E \cup F$ không bao phủ toàn bộ $\Omega$). Đáp án: A. $E = \{1, 4, 6\}$ và $F = \{2, 3\}$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học không gian và các tính chất của mặt phẳng và đường thẳng. Bước 1: Xác định vị trí của điểm O và đường thẳng $\Delta$. - Điểm O là một điểm cố định trong không gian. - Đường thẳng $\Delta$ là một đường thẳng cố định trong không gian. Bước 2: Xét tính chất của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng. - Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nếu nó chứa đường thẳng vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm O. Bước 3: Xác định số lượng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm O. - Ta có thể vẽ vô số đường thẳng vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm O. - Mỗi đường thẳng vuông góc với $\Delta$ đi qua điểm O sẽ xác định một mặt phẳng vuông góc với $\Delta$. Do đó, qua điểm O cho trước, có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ cho trước. Đáp án đúng là: C. Vô số. Câu 4. Ta biết rằng nếu hai biến cố xung khắc thì xác suất của tổng của chúng bằng tổng xác suất của từng biến cố. Do đó, ta có: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + P(B) \] Giải phương trình này để tìm \( P(B) \): \[ P(B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] Quy đồng mẫu số: \[ P(B) = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{2}{15} \] Câu 5. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = (2x - 1)^\pi \), chúng ta cần xem xét các điều kiện để biểu thức này có nghĩa. 1. Xét biểu thức \( 2x - 1 \): - Biểu thức \( 2x - 1 \) là một đa thức bậc nhất, do đó nó có nghĩa với mọi giá trị thực của \( x \). 2. Xét lũy thừa \( (2x - 1)^\pi \): - Lũy thừa \( (2x - 1)^\pi \) có nghĩa nếu \( 2x - 1 > 0 \) vì \( \pi \) là một số thực dương và lũy thừa của một số âm với số mũ thực dương không có nghĩa trong tập số thực. Do đó, ta cần giải bất phương trình: \[ 2x - 1 > 0 \] \[ 2x > 1 \] \[ x > \frac{1}{2} \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = (2x - 1)^\pi \) là: \[ D = \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) \] Đáp án đúng là: \[ B.~D = \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) \] Câu 6. Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x_0 \) được định nghĩa là giới hạn của tỉ số sai phân khi \( h \) tiến đến 0. Cụ thể, đạo hàm của \( f(x) \) tại \( x_0 \) là: \[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \] Trong các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( f(x_0) \) là giá trị của hàm số tại điểm \( x_0 \), không phải đạo hàm. - Đáp án B: \( \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \) là tỉ số sai phân, nhưng chưa là đạo hàm vì chưa lấy giới hạn khi \( h \) tiến đến 0. - Đáp án C: \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} \) là một dạng khác của đạo hàm, nhưng không phải là định nghĩa chuẩn của đạo hàm. - Đáp án D: \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \) đúng là định nghĩa của đạo hàm. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}} \] Câu 7. Để xác định đẳng thức đúng trong bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng trường hợp dựa trên các tính chất của lô-ga-rít và số mũ. Dưới đây là các tính chất cơ bản mà chúng ta sẽ sử dụng: 1. \( \log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \) 2. \( \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y) \) 3. \( \log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x) \) 4. \( a^{\log_a(x)} = x \) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức: a) \( \log_a(x+y) = \log_a(x) + \log_a(y) \) Theo tính chất của lô-ga-rít, \( \log_a(x+y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) \). Do đó, đẳng thức này sai. b) \( \log_a(x-y) = \log_a(x) - \log_a(y) \) Theo tính chất của lô-ga-rít, \( \log_a(x-y) \neq \log_a(x) - \log_a(y) \). Do đó, đẳng thức này cũng sai. c) \( \log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x) \) Theo tính chất của lô-ga-rít, \( \log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x) \). Do đó, đẳng thức này đúng. d) \( a^{\log_a(x)} = x \) Theo tính chất của số mũ và lô-ga-rít, \( a^{\log_a(x)} = x \). Do đó, đẳng thức này đúng. Kết luận: Các đẳng thức đúng là: - \( \log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x) \) - \( a^{\log_a(x)} = x \) Vậy đáp án đúng là c) và d).