Bài 5. Giải phương trình: (2024 - x)$^3$ + (2026 - x)$^3$ + (2x - 4050)$^3$ = 0

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5345223,"userName":"Lê Duy Hưng"}

Ta có phương trình:

$(2024 - x)^3 + (2026 - x)^3 + (2x - 4050)^3 = 0$

Đặt $a = 2024 - x$ và $b = 2026 - x$. Khi đó,

$2x - 4050 = 2x - (2024 + 2026) = 2x - (2024 - x + 2026 - x + 2x) = -(a + b)$

Vậy, ta có:

$a^3 + b^3 + (-a-b)^3 = a^3 + b^3 - (a+b)^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -3ab(a+b) = 0$

Suy ra $a = 0$ hoặc $b=0$ hoặc $a+b=0$.

Trường hợp 1: $a = 0 \implies 2024 - x = 0 \implies x = 2024$.

Trường hợp 2: $b = 0 \implies 2026 - x = 0 \implies x = 2026$.

Trường hợp 3: $a+b = 0 \implies 2024 - x + 2026 - x = 0 \implies 4050 - 2x = 0 \implies x = 2025$.

Vậy phương trình có 3 nghiệm: $x = 2024, x = 2025$ và $x = 2026$.

Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm là $x=2024$, $x=2025$ và $x=2026$.

Timi · Answer

Bài 5.
Để giải phương trình (2024 - x)$$^3$$ + (2026 - x)$$^3$$ + (2x - 4050)$$^3$$ = 0, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các biến và điều kiện.
- Gọi $ a = 2024 - x $
- Gọi $ b = 2026 - x $
- Gọi $ c = 2x - 4050 $

Bước 2: Thay các biến vào phương trình ban đầu:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 0 $$

Bước 3: Ta nhận thấy rằng $ a + b + c = 0 $:
$$ a + b + c = (2024 - x) + (2026 - x) + (2x - 4050) $$
$$ = 2024 - x + 2026 - x + 2x - 4050 $$
$$ = 4050 - 2x + 2x - 4050 $$
$$ = 0 $$

Bước 4: Áp dụng tính chất của tổng ba lũy thừa bậc ba:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \text{ khi } a + b + c = 0 $$

Do đó:
$$ 3abc = 0 $$

Bước 5: Giải phương trình $ 3abc = 0 $:
$$ abc = 0 $$

Điều này có nghĩa là ít nhất một trong ba biến $ a $, $ b $, hoặc $ c $ phải bằng 0.

Bước 6: Xét từng trường hợp:
1. $ a = 0 $:
$$ 2024 - x = 0 $$
$$ x = 2024 $$

2. $ b = 0 $:
$$ 2026 - x = 0 $$
$$ x = 2026 $$

3. $ c = 0 $:
$$ 2x - 4050 = 0 $$
$$ 2x = 4050 $$
$$ x = 2025 $$

Bước 7: Kết luận nghiệm của phương trình:
$$ x = 2024 \text{ hoặc } x = 2026 \text{ hoặc } x = 2025 $$

Đáp số: $ x = 2024 \text{ hoặc } x = 2026 \text{ hoặc } x = 2025 $