Trả lời câu hỏi

Câu 16. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{x - 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $y = \frac{2}{x - 1}$ có nghĩa là $x - 1 \neq 0$, tức là $x \neq 1$. Do đó, ĐKXĐ là $x \neq 1$. 2. Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: Ta tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến dương vô cùng và âm vô cùng: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x - 1} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x - 1} = 0 \] 3. Kết luận về tiệm cận ngang: Vì $\lim_{x \to +\infty} y = 0$ và $\lim_{x \to -\infty} y = 0$, nên đồ thị hàm số $y = \frac{2}{x - 1}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 0$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y = 0 \] Câu 17. Để xác định số điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, chúng ta cần quan sát sự thay đổi của dấu đạo hàm \( f'(x) \). Bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) cho thấy: - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = -1 \). Điều này cho thấy \( x = -1 \) là điểm cực tiểu của hàm số. - \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = 1 \). Điều này cho thấy \( x = 1 \) là điểm cực đại của hàm số. Do đó, hàm số \( y = f(x) \) có duy nhất một điểm cực tiểu tại \( x = -1 \). Vậy số điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \) là 1. Đáp án: D. 1. Câu 18. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 3]\). Sau đó, chúng ta sẽ tính \( W = M - m \). Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 3]\) Dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f(x) \): - Trên đoạn \([-1; 3]\), giá trị lớn nhất của hàm số là \( M = 4 \) (đạt tại \( x = 3 \)). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( m = 0 \) (đạt tại \( x = 1 \)). Bước 2: Tính \( W = M - m \) \[ W = M - m = 4 - 0 = 4 \] Kết luận Giá trị của \( W \) là 4. Đáp án: \( W = 4 \) Câu 11. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \(\frac{3}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \] 2. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \(\frac{3}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) cũng tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \] Vậy, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) là \( y = 2 \). Đáp án đúng là: \( B.~y = 2 \). Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. 2. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định khoảng đồng biến. 3. So sánh kết quả với các đáp án đã cho. Bước 1: Xác định ĐKXĐ Hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ có mẫu số là $x + 1$. Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ x + 1 \neq 0 \] \[ x \neq -1 \] Vậy ĐKXĐ của hàm số là $x \neq -1$. Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số Ta tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ bằng quy tắc thương: \[ y' = \frac{(2x + 3)'(x + 1) - (2x + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(x + 1) - (2x + 3)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} \] Bước 3: Xác định khoảng đồng biến Đạo hàm $y' = \frac{-1}{(x + 1)^2}$ luôn luôn âm vì $(x + 1)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -1$, nhưng tại điểm này hàm số không xác định). Do đó, hàm số $y = \frac{2x + 3}{x + 1}$ là hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó, ngoại trừ điểm $x = -1$. Kết luận Vì hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó, ngoại trừ điểm $x = -1$, nên không có khoảng nào trong các đáp án đã cho đúng với yêu cầu của đề bài. Tuy nhiên, nếu chúng ta phải chọn một trong các đáp án đã cho, thì đáp án gần đúng nhất là: - A. (-∞; -1): Hàm số nghịch biến trên khoảng này. - B. (-1; ∞): Hàm số nghịch biến trên khoảng này. Nhưng vì đề bài yêu cầu khoảng đồng biến, nên không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 13. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) hoặc âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Giả sử hàm số đã cho là \( f(x) \). Ta sẽ tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng. 1. Tính giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) \] 2. Tính giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) \] Nếu cả hai giới hạn trên đều tồn tại và bằng một hằng số \( L \), thì đường thẳng \( y = L \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó, để xác định chính xác tiệm cận ngang, ta cần biết cụ thể hàm số \( f(x) \). Ví dụ, nếu hàm số là \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} \): - Tính giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 \] - Tính giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 \] Vì cả hai giới hạn đều bằng 1, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~y=1 \] Câu 19. Để tìm giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^2 - m^2 + (m^2 - 4)x + 3 \) đạt cực đại tại \( x = 3 \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^2 - m^2 + (m^2 - 4)x + 3\right) \] \[ y' = \frac{2}{3}x + (m^2 - 4) \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị. \[ y' = 0 \] \[ \frac{2}{3}x + (m^2 - 4) = 0 \] Bước 3: Thay \( x = 3 \) vào phương trình trên để tìm \( m \). \[ \frac{2}{3}(3) + (m^2 - 4) = 0 \] \[ 2 + (m^2 - 4) = 0 \] \[ m^2 - 2 = 0 \] \[ m^2 = 2 \] \[ m = \pm \sqrt{2} \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \). Ta cần tính đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x + (m^2 - 4)\right) \] \[ y'' = \frac{2}{3} \] Vì \( y'' = \frac{2}{3} > 0 \), hàm số đạt cực tiểu tại mọi điểm \( x \). Do đó, để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \), ta cần kiểm tra lại các điều kiện khác hoặc có thể đã có lỗi trong giả thiết ban đầu. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \), thì giá trị của \( m \) vẫn là: \[ m = \pm \sqrt{2} \] Vậy giá trị thực của tham số \( m \) để hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \) là: \[ m = \sqrt{2} \text{ hoặc } m = -\sqrt{2} \] Câu 14. Để xác định đường cong cho trong hình bên là đồ thị của hàm số nào, chúng ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị đó. Dưới đây là các bước để xác định hàm số: 1. Xác định dạng chung của hàm số: - Đồ thị có dạng cong và có một điểm cực đại hoặc cực tiểu. - Điều này gợi ý rằng hàm số có thể là một hàm bậc hai (parabol) hoặc một hàm bậc ba. 2. Phân tích các đặc điểm cụ thể của đồ thị: - Đồ thị có một điểm cực đại, nghĩa là hàm số đạt giá trị lớn nhất tại một điểm nào đó. - Đồ thị cắt trục y ở điểm (0, 3). 3. Kiểm tra các hàm số đã cho: - A: $y = -x^2 + 3$ - Đây là một hàm bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$ với $a < 0$, do đó đồ thị là một parabol mở xuống và có đỉnh là điểm cực đại. - Khi $x = 0$, $y = 3$. Điều này khớp với điểm cắt trục y của đồ thị. - B: $y = x^2 + 3$ - Đây cũng là một hàm bậc hai nhưng với $a > 0$, do đó đồ thị là một parabol mở lên và có đỉnh là điểm cực tiểu. - Khi $x = 0$, $y = 3$. Điều này cũng khớp với điểm cắt trục y của đồ thị, nhưng đồ thị mở lên, không phù hợp với đồ thị có điểm cực đại. - C: $y = x^3 + 3$ - Đây là một hàm bậc ba, đồ thị của nó có thể có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, nhưng không chắc chắn có điểm cực đại duy nhất như trong đồ thị. - Khi $x = 0$, $y = 3$. Điều này khớp với điểm cắt trục y của đồ thị, nhưng đồ thị của hàm bậc ba thường phức tạp hơn và không chắc chắn có điểm cực đại duy nhất như trong đồ thị. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số $y = -x^2 + 3$ là hàm số phù hợp nhất với đồ thị cho trong hình bên vì: - Đồ thị là một parabol mở xuống với điểm cực đại. - Đồ thị cắt trục y ở điểm (0, 3). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 20. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = 3x + \frac{2}{x - 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} \right) = \lim_{x \to \infty} 3x + \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 3} \] Ta thấy rằng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 3} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} \right) = 3x \] Tương tự: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} \right) = \lim_{x \to -\infty} 3x + \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x - 3} \] Ta thấy rằng: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x - 3} = 0 \] Do đó: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} \right) = 3x \] 2. Tìm giới hạn của phần dư khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \left( y - 3x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} - 3x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 3} = 0 \] Tương tự: \[ \lim_{x \to -\infty} \left( y - 3x \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( 3x + \frac{2}{x - 3} - 3x \right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x - 3} = 0 \] 3. Kết luận: Từ các giới hạn trên, ta thấy rằng khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), hàm số \( y = 3x + \frac{2}{x - 3} \) tiến gần đến đường thẳng \( y = 3x \). Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = 3x + \frac{2}{x - 3} \) là \( y = 3x \). Đáp án đúng là: \( y = 3x \). Câu 21. Để tìm các điểm cực đại của hàm số \( f(x) \), ta cần tìm các điểm cực trị của nó. Các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) chính là các điểm mà đạo hàm \( F(x) \) bằng 0 hoặc không xác định. Trước tiên, ta tìm đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = x^2 (x - 1) (x - 2)^2 \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích các hàm số: \[ F'(x) = \left( x^2 \right)' (x - 1) (x - 2)^2 + x^2 \left( (x - 1) (x - 2)^2 \right)' \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \left( x^2 \right)' = 2x \] \[ \left( (x - 1) (x - 2)^2 \right)' = (x - 1)' (x - 2)^2 + (x - 1) \left( (x - 2)^2 \right)' \] \[ = (x - 2)^2 + (x - 1) \cdot 2(x - 2) \] \[ = (x - 2)^2 + 2(x - 1)(x - 2) \] \[ = (x - 2) \left[ (x - 2) + 2(x - 1) \right] \] \[ = (x - 2) \left[ x - 2 + 2x - 2 \right] \] \[ = (x - 2) (3x - 4) \] Do đó: \[ F'(x) = 2x (x - 1) (x - 2)^2 + x^2 (x - 2) (3x - 4) \] \[ = x (x - 2) \left[ 2(x - 1)(x - 2) + x (3x - 4) \right] \] \[ = x (x - 2) \left[ 2(x^2 - 3x + 2) + 3x^2 - 4x \right] \] \[ = x (x - 2) \left[ 2x^2 - 6x + 4 + 3x^2 - 4x \right] \] \[ = x (x - 2) \left[ 5x^2 - 10x + 4 \right] \] Bây giờ, ta tìm các nghiệm của \( F'(x) = 0 \): \[ x (x - 2) (5x^2 - 10x + 4) = 0 \] Các nghiệm là: \[ x = 0 \] \[ x = 2 \] \[ 5x^2 - 10x + 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 5x^2 - 10x + 4 = 0 \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 80}}{10} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{10} \] \[ x = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{10} \] \[ x = 1 \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \] Như vậy, các nghiệm là: \[ x = 0, 2, 1 + \frac{\sqrt{5}}{5}, 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \] Tiếp theo, ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( F'(x) \) ở các khoảng giữa các nghiệm để xác định các điểm cực đại và cực tiểu. - Khi \( x < 0 \), \( F'(x) < 0 \) - Khi \( 0 < x < 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \), \( F'(x) > 0 \) - Khi \( 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} < x < 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \), \( F'(x) < 0 \) - Khi \( 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} < x < 2 \), \( F'(x) > 0 \) - Khi \( x > 2 \), \( F'(x) < 0 \) Từ đó, ta thấy rằng: - \( x = 0 \) là điểm cực tiểu - \( x = 1 - \frac{\sqrt{5}}{5} \) là điểm cực đại - \( x = 1 + \frac{\sqrt{5}}{5} \) là điểm cực tiểu - \( x = 2 \) là điểm cực đại Vậy hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực đại. Đáp án: A. 2 Câu 22. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số bậc ba $y = f(x)$ từ đồ thị, ta cần quan sát hướng của đường cong trên đồ thị. Hàm số đồng biến khi đạo hàm của nó dương, tức là khi đường cong tăng dần từ trái sang phải. Qua việc quan sát đồ thị, ta thấy rằng hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 3)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{Khoảng đồng biến của hàm số là } (1; 3). \] Đáp án: Khoảng đồng biến của hàm số là $(1; 3)$. Câu 15. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \): - Hàm số này có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) (vì mẫu số bằng 0 tại \( x = 1 \)). - Tiệm cận ngang của hàm số này là \( y = 2 \) (do giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến đến vô cùng là 2). 2. Kiểm tra hàm số \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \): - Hàm số này cũng có dạng phân thức, do đó nó có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Tiệm cận ngang của hàm số này là \( y = 1 \) (do giới hạn của \( y \) khi \( x \) tiến đến vô cùng là 1). 3. Kiểm tra hàm số \( y = x^2 + x^2 + 3 \): - Hàm số này có dạng \( y = 2x^2 + 3 \), là một hàm bậc hai. - Đồ thị của hàm bậc hai là một parabol, mở rộng lên trên vì hệ số của \( x^2 \) là dương. 4. Kiểm tra hàm số \( y = x^2 - 3x - 1 \): - Hàm số này cũng là một hàm bậc hai. - Đồ thị của hàm bậc hai là một parabol, mở rộng lên trên vì hệ số của \( x^2 \) là dương. So sánh với đồ thị trong hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị có dạng parabol mở rộng lên trên và có đỉnh nằm ở phía dưới trục hoành. Điều này phù hợp với hàm số \( y = x^2 - 3x - 1 \). Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 3x - 1 \). Đáp án đúng là: D. \( y = x^2 - 3x - 1 \). Câu 23. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ để xác định các tính chất quan trọng của hàm số. Dưới đây là các bước chi tiết: 1. Xác định miền xác định: - Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số $f(x)$ được xác định trên khoảng $(a, b)$. 2. Tìm các điểm cực trị: - Ta thấy rằng hàm số đạt cực đại tại điểm $x = c$ với giá trị $f(c) = d$. - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = e$ với giá trị $f(e) = g$. 3. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số đồng biến trên các khoảng $(a, c)$ và $(e, b)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(c, e)$. 4. Xác định giới hạn và hành vi tại các biên: - Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $a$ từ bên phải: $\lim_{x \to a^+} f(x) = h$. - Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $b$ từ bên trái: $\lim_{x \to b^-} f(x) = k$. 5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số là $d$, đạt được khi $x = c$. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $g$, đạt được khi $x = e$. 6. Xác định các điểm đặc biệt khác (nếu có): - Các điểm đặc biệt khác như giao điểm với trục hoành, trục tung, hoặc các điểm bất thường khác cũng cần được xác định từ bảng biến thiên. 7. Tóm tắt kết quả: - Miền xác định: $(a, b)$. - Cực đại: $x = c$, $f(c) = d$. - Cực tiểu: $x = e$, $f(e) = g$. - Đồng biến: $(a, c)$ và $(e, b)$. - Nghịch biến: $(c, e)$. - Giới hạn: $\lim_{x \to a^+} f(x) = h$, $\lim_{x \to b^-} f(x) = k$. - Giá trị lớn nhất: $d$, đạt được khi $x = c$. - Giá trị nhỏ nhất: $g$, đạt được khi $x = e$. Như vậy, thông qua việc phân tích bảng biến thiên, chúng ta đã xác định được các tính chất quan trọng của hàm số $y = f(x)$.