Giải chi tiết với ạ ĐỀ SỐ 4,PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. Hàm số nào sau đây có đồ thị dạng như đường cong trong,Hình 1?,,$A.~y=x^3-3x^2+2.$,$B.~y=x^3+3x^2+2.$ a,$C.~y=x^3-3x^2-2.$,$D.~y=-x^3+3x^2+2.$,Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2(x+3)$ với $x\in\mathbb R$ Số điểm cực trị của,hàm số đã cho là,A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:,,Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là,A. 1. B. 2. C. 3. D. 4,Câu 4. Biết rằng hàm số $f(x)=x^2e^x+a$ (a là hằng số) có giá trị cực tiểu bằng 1. Giá trị,cực đại của hàm số này là,$A.~\frac4{e^2}.$ $B.~\frac1c+1.$ $C.~\frac4{c^2}+1.$ $D.~1-\frac4{e^2}.$

Question

Giải chi tiết với ạ ĐỀ SỐ 4,PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN,Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. Hàm số nào sau đây có đồ thị dạng như đường cong trong,Hình 1?,

,$A.~y=x^3-3x^2+2.$,$B.~y=x^3+3x^2+2.$ a>>,$C.~y=x^3-3x^2-2.$,$D.~y=-x^3+3x^2+2.$,Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2(x+3)$ với $x\in\mathbb R$ Số điểm cực trị của,hàm số đã cho là,A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.,Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:,

,Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là,A. 1. B. 2. C. 3. D. 4,Câu 4. Biết rằng hàm số $f(x)=x^2e^x+a$ (a là hằng số) có giá trị cực tiểu bằng 1. Giá trị,cực đại của hàm số này là,$A.~\frac4{e^2}.$ $B.~\frac1c+1.$ $C.~\frac4{c^2}+1.$ $D.~1-\frac4{e^2}.$

Accepted Answer

Câu 1. Để xác định hàm số có đồ thị dạng như đường cong trong Hình 1, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra các giới hạn: - Đồ thị của hàm số có dạng uốn lượn và cắt trục y tại điểm (0, 2). Điều này có nghĩa là khi $ x = 0 $, giá trị của hàm số phải là 2. 2. Kiểm tra các giá trị tại $ x = 0 $: - $ A.~y=x^3-3x^2+2 $ $$ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 $$ - $ B.~y=x^3+3x^2+2 $ $$ y(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 $$ - $ C.~y=x^3-3x^2-2 $ $$ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 2 = -2 $$ - $ D.~y=-x^3+3x^2+2 $ $$ y(0) = -0^3 + 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 $$ Như vậy, các hàm số $ A $, $ B $, và $ D $ đều thỏa mãn điều kiện cắt trục y tại điểm (0, 2). 3. Kiểm tra các dấu hiệu của đạo hàm: - Để xác định hình dáng của đồ thị, chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của các hàm số: - $ A.~y=x^3-3x^2+2 $ $$ y' = 3x^2 - 6x $$ Đạo hàm này có nghiệm là $ x = 0 $ và $ x = 2 $. Khi $ x < 0 $ hoặc $ x > 2 $, đạo hàm dương, tức là hàm số tăng. Khi $ 0 < x < 2 $, đạo hàm âm, tức là hàm số giảm. - $ B.~y=x^3+3x^2+2 $ $$ y' = 3x^2 + 6x $$ Đạo hàm này có nghiệm là $ x = 0 $ và $ x = -2 $. Khi $ x < -2 $ hoặc $ x > 0 $, đạo hàm dương, tức là hàm số tăng. Khi $ -2 < x < 0 $, đạo hàm âm, tức là hàm số giảm. - $ D.~y=-x^3+3x^2+2 $ $$ y' = -3x^2 + 6x $$ Đạo hàm này có nghiệm là $ x = 0 $ và $ x = 2 $. Khi $ x < 0 $ hoặc $ x > 2 $, đạo hàm âm, tức là hàm số giảm. Khi $ 0 < x < 2 $, đạo hàm dương, tức là hàm số tăng. So sánh với đồ thị trong Hình 1, chúng ta thấy rằng đồ thị có dạng uốn lượn và có hai điểm cực trị. Hàm số $ D $ có đạo hàm âm khi $ x < 0 $ hoặc $ x > 2 $ và đạo hàm dương khi $ 0 < x < 2 $, phù hợp với hình dáng của đồ thị. Do đó, hàm số có đồ thị dạng như đường cong trong Hình 1 là: $$ \boxed{D.~y=-x^3+3x^2+2} $$ Câu 2. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $ với đạo hàm $ f'(x) = x^2(x + 3) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = x^2(x + 3) = 0 $$ Ta có: $$ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 3 = 0 $$ Giải các phương trình này, ta được: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 $$ 2. Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng xác định: - Khi $ x < -3 $: $$ x^2 > 0 \quad \text{và} \quad x + 3 < 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Khi $ -3 < x < 0 $: $$ x^2 > 0 \quad \text{và} \quad x + 3 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Khi $ x > 0 $: $$ x^2 > 0 \quad \text{và} \quad x + 3 > 0 \implies f'(x) > 0 $$ 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = -3 $: \[ f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = -3 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = 0 $: \[ f'(x) \) không thay đổi dấu (cả hai bên đều dương), do đó $ x = 0 $ không phải là điểm cực trị. Vậy, hàm số $ y = f(x) $ có 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $ x = -3 $. Đáp án: B. 1. Câu 3. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $x$ tiến đến một giá trị cố định nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến $-1$, giá trị của $f(x)$ tiến đến $+\infty$ hoặc $-\infty$. Do đó, $x = -1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $x$ tiến đến dương vô cực ($+\infty$) hoặc âm vô cực ($-\infty$). - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến $+\infty$, giá trị của $f(x)$ tiến đến $2$. Do đó, $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: - Số tiệm cận đứng: 1 (tiệm cận đứng tại $x = -1$) - Số tiệm cận ngang: 1 (tiệm cận ngang tại $y = 2$) Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: $$ 1 + 1 = 2 $$ Đáp án đúng là: B. 2. Câu 4. Để tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số $ f(x) = x^2 e^x + a $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x + a) = 2x e^x + x^2 e^x = x e^x (2 + x). $$ 2. Xác định điểm cực trị: Đặt $ f'(x) = 0 $: $$ x e^x (2 + x) = 0. $$ Suy ra: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2. $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ f''(x) = \frac{d}{dx}(x e^x (2 + x)) = e^x (2 + x) + x e^x (2 + x) + x e^x = e^x (2 + x + 2x + x^2) = e^x (x^2 + 3x + 2). $$ Tại $ x = 0 $: $$ f''(0) = e^0 (0^2 + 3 \cdot 0 + 2) = 2 > 0, $$ nên $ x = 0 $ là điểm cực tiểu. - Tại $ x = -2 $: $$ f''(-2) = e^{-2} ((-2)^2 + 3(-2) + 2) = e^{-2} (4 - 6 + 2) = 0. $$ Do đó, cần kiểm tra thêm để xác định tính chất của điểm này. Ta thấy: $$ f'(-2) = (-2) e^{-2} (2 - 2) = 0, $$ và $ f'(-2) $ thay đổi dấu từ âm sang dương khi qua $ x = -2 $, nên $ x = -2 $ là điểm cực đại. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ f(0) = 0^2 e^0 + a = a. $$ Theo đề bài, giá trị cực tiểu bằng 1, suy ra: $$ a = 1. $$ - Tại $ x = -2 $: $$ f(-2) = (-2)^2 e^{-2} + 1 = 4 e^{-2} + 1 = \frac{4}{e^2} + 1. $$ Vậy giá trị cực đại của hàm số là $ \frac{4}{e^2} + 1 $. Đáp án đúng là: $ C.~\frac{4}{e^2} + 1 $.