giúp mình vs mn

Câu 1. Để giải phương trình $7^{2x^2 - x} = 7$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình đã cho là $7^{2x^2 - x} = 7$. Ta thấy rằng $7^{2x^2 - x}$ luôn luôn có nghĩa với mọi giá trị của $x$, do đó ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. Bước 2: Chuyển phương trình về dạng cơ bản - Ta nhận thấy rằng $7 = 7^1$. Do đó, phương trình có thể viết lại thành: \[ 7^{2x^2 - x} = 7^1 \] Bước 3: So sánh các mũ - Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ: \[ 2x^2 - x = 1 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai - Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để giải phương trình bậc hai: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] - Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, $a = 2$, $b = -1$, và $c = -1$. - Tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] - Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Các nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = -\frac{1}{2}$ đều thỏa mãn ĐKXĐ $x \in \mathbb{R}$. Bước 6: Tính tổng các nghiệm - Tổng hai nghiệm của phương trình là: \[ x_1 + x_2 = 1 + \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \] Vậy tổng hai nghiệm của phương trình $7^{2x^2 - x} = 7$ là $\frac{1}{2}$. Câu 2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -2x^3 + 6x^2 - 5$ tại điểm $M(3, -5)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y = -2x^3 + 6x^2 - 5$. \[ y' = (-2x^3)' + (6x^2)' - 5' = -6x^2 + 12x \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 3$. \[ y'(3) = -6(3)^2 + 12(3) = -6 \cdot 9 + 12 \cdot 3 = -54 + 36 = -18 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(3, -5)$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = y'(3)(x - 3) + y(3) \] \[ y = -18(x - 3) - 5 \] \[ y = -18x + 54 - 5 \] \[ y = -18x + 49 \] Bước 4: Xác định các hệ số $a$ và $b$ trong phương trình tiếp tuyến $y = ax + b$. \[ a = -18 \] \[ b = 49 \] Bước 5: Tính tổng $a + b$. \[ a + b = -18 + 49 = 31 \] Vậy, $a + b = 31$. Câu 3: Để tính tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy khi sản xuất 1200 sản phẩm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( x \) - Số lượng sản phẩm sản xuất được là 1200 sản phẩm, do đó \( x = 12 \) (vì đơn vị là trăm sản phẩm). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận \( P(x) \) - Hàm lợi nhuận là \( P(x) = -200x^2 + 12800x - 74000 \). - Đạo hàm của \( P(x) \) là: \[ P'(x) = \frac{d}{dx}(-200x^2 + 12800x - 74000) \] \[ P'(x) = -400x + 12800 \] Bước 3: Thay giá trị \( x = 12 \) vào đạo hàm \( P'(x) \) \[ P'(12) = -400(12) + 12800 \] \[ P'(12) = -4800 + 12800 \] \[ P'(12) = 8000 \] Vậy tốc độ thay đổi lợi nhuận của nhà máy khi sản xuất 1200 sản phẩm là 8000 nghìn đồng (tức là 8 triệu đồng). Đáp số: 8 triệu đồng. Câu 4: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). Do SA \(\perp\) (ABCD), nên SO cũng \(\perp\) (ABCD). Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc \(\angle SCO\). Bây giờ, ta tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - Độ dài SA = \(a\sqrt{2}\) - Độ dài OA = \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) (vì O là tâm của hình vuông ABCD, OA là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông) Ta có: \[ SO = SA = a\sqrt{2} \] Độ dài OC (bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD): \[ OC = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Bây giờ, ta tính độ dài SC bằng định lý Pythagoras trong tam giác SOA: \[ SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{2a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{4a^2 + a^2}{2}} = \sqrt{\frac{5a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{5}{2}} \] Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc \(\angle SCO\). Ta có: \[ \sin(\angle SCO) = \frac{SO}{SC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{5}{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Vậy góc \(\angle SCO\) là: \[ \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \] Đáp số: \(\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\) Câu 1: Để giải phương trình $\log_2x + \log_23 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình chứa $\log_2x$, do đó ta cần đảm bảo rằng $x > 0$. Bước 2: Gộp các biểu thức logarit Sử dụng tính chất của logarit $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_2x + \log_23 = \log_2(3x) \] Bước 3: Viết phương trình dưới dạng logarit cơ bản Phương trình trở thành: \[ \log_2(3x) = 0 \] Bước 4: Giải phương trình logarit Ta biết rằng $\log_2(3x) = 0$ suy ra $3x = 2^0$. Vì $2^0 = 1$, nên ta có: \[ 3x = 1 \] Bước 5: Tìm giá trị của $x$ Chia cả hai vế cho 3, ta được: \[ x = \frac{1}{3} \] Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định $x = \frac{1}{3} > 0$, thỏa mãn ĐKXĐ. Kết luận Giá trị của $x$ là $\frac{1}{3}$. Đáp số: $x = \frac{1}{3}$. Câu 2: Để viết phương trình tiếp tuyến của quỹ đạo chuyển động của quả bóng sau 1 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm trên đường parabol sau 1 giây: - Thời gian \( t = 1 \) giây. - Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( y = -5,5x^2 + 14x \): \[ y = -5,5(1)^2 + 14(1) = -5,5 + 14 = 8,5 \] - Vậy tọa độ của điểm sau 1 giây là \( M(1; 8,5) \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến: - Phương trình của đường parabol là \( y = -5,5x^2 + 14x \). - Đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = \frac{d}{dx}(-5,5x^2 + 14x) = -11x + 14 \] - Tại điểm \( x = 1 \), hệ số góc của tiếp tuyến là: \[ y'(1) = -11(1) + 14 = 3 \] 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(1; 8,5) \): - Phương trình tiếp tuyến có dạng \( y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 \), trong đó \( (x_0, y_0) \) là tọa độ điểm tiếp xúc và \( y'(x_0) \) là hệ số góc của tiếp tuyến. - Thay \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 8,5 \), và \( y'(1) = 3 \) vào phương trình: \[ y = 3(x - 1) + 8,5 \] - Rút gọn phương trình: \[ y = 3x - 3 + 8,5 = 3x + 5,5 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của quỹ đạo chuyển động sau 1 giây là: \[ y = 3x + 5,5 \] Câu 3. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 1}{2x - 1} \), ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức này được viết dưới dạng: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = x^2 + 1 \) - \( v = 2x - 1 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \). \[ u' = (x^2 + 1)' = 2x \] \[ v' = (2x - 1)' = 2 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. \[ y' = \frac{(x^2 + 1)'(2x - 1) - (x^2 + 1)(2x - 1)'}{(2x - 1)^2} \] Bước 3: Thay các đạo hàm vừa tính vào công thức. \[ y' = \frac{2x(2x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 2}{(2x - 1)^2} \] Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số. \[ y' = \frac{2x(2x - 1) - 2(x^2 + 1)}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 - 2x - 2x^2 - 2}{(2x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2}{(2x - 1)^2} \] Bước 5: Viết kết quả cuối cùng. \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2}{(2x - 1)^2} \] Đáp số: \( y' = \frac{2x^2 - 2x - 2}{(2x - 1)^2} \) Câu 4: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (SAB): - Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, SA vuông góc với AD. - Ta hạ đường cao DH từ D xuống mặt phẳng (SAB), giao tại H. Vì SA vuông góc với đáy ABCD, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả AD. Do đó, SA vuông góc với DH. 2. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB): - Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAB cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAD và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. 3. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB): - Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAB cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAD và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SAB và chiều cao DH từ D xuống SA. Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2} \times SA \times AD = \frac{1}{2} \times a \times 2a = a^2$. 4. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB), tức là $DH = \frac{2a^2}{\sqrt{5}a} = \frac{2a}{\sqrt{5}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Đáp số: $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.