Giúp mình với ạ

Câu 9. Để tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d_1 \) có phương trình: \( \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} \). Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (2, 1, -1) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có phương trình: \( \frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-1}{9} \). Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (3, 3, 9) \). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 9 = 6 + 3 - 9 = 0 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 9 + 81} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{11}} = 0 \] Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là 0. Đáp án đúng là: B. 0. Câu 10. Mặt cầu $(S):~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9$ có dạng chuẩn là $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a,b,c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $I(-1, 2, 1)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{9} = 3$. Do đó, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là: \[ I(-1, 2, 1) \text{ và } R = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~I(-1;2;1) \text{ và } R=3 \] Câu 11. Để tính $P(\overline{A} \cap B)$, ta cần biết xác suất của các biến cố liên quan và áp dụng công thức xác suất điều kiện. Trước tiên, ta biết rằng: - $P(A) = 0,2$ - $P(B) = 0,6$ - $P(A | B) = 0,3$ Từ công thức xác suất điều kiện, ta có: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ 0,3 = \frac{P(A \cap B)}{0,6} \] Giải ra ta được: \[ P(A \cap B) = 0,3 \times 0,6 = 0,18 \] Tiếp theo, ta cần tính $P(\overline{A} \cap B)$. Biến cố $\overline{A} \cap B$ là biến cố trong đó B xảy ra nhưng A không xảy ra. Ta có: \[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(\overline{A} \cap B) = 0,6 - 0,18 = 0,42 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{0,42} \] Câu 12. Để tìm $P(B|A)$, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện và các thông tin đã cho. Công thức xác suất điều kiện: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Từ đây, ta có: \[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A \cap B) = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24 \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức xác suất điều kiện để tìm $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B|A) = \frac{0,24}{0,3} = 0,8 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C. 0,8} \] Câu 1. a) Xét trường hợp $m=0:$ Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1,1,2).$ Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,-2,2).$ Ta có: $\cos(d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|\times|\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|-1\times1+(-2)\times1+2\times2|}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}\times\sqrt{1^2+1^2+2^2}}=\frac13.$ Suy ra số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $109^o3'18''.$ b) Ta có: $\cos(d_1,Ox)=\frac{|-1|}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}}=\frac13.$ c) Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(2,2,1).$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt phẳng (P) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_\Delta}=(2,2,1).$ Ta có: $\cos(\Delta,d_1)=\frac{|\overrightarrow{u_\Delta}\cdot\overrightarrow{u_1}|}{|\overrightarrow{u_\Delta}|\times|\overrightarrow{u_1}|}=\frac{|2\times(-1)+2\times(-2)+1\times2|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}\times\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}}=\frac49.$ d) Xét trường hợp $m=\frac ab,a,b\in\mathbb Z,\frac ab$ là phân số tối giản: Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1,1,-m).$ Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,-2,2).$ Ta có: $\cos(d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}|\times|\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|-1\times1+(-2)\times1+2\times(-m)|}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+2^2}\times\sqrt{1^2+1^2+(-m)^2}}=\frac{|-3-2m|}{3\times\sqrt{2+m^2}}.$ Số đo góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ bằng 90' thì $\cos(d_1,d_2)=0.$ Từ đó ta có: $|-3-2m|=0.$ Giải ra ta được: $m=-\frac32.$ Vậy giá trị biểu thức $a^2+b^2=(-3)^2+2^2=13.$ Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính số viên bi màu đỏ có đánh số - Tổng số viên bi màu đỏ là 50 viên. - 60% số viên bi màu đỏ có đánh số. Số viên bi màu đỏ có đánh số: \[ 50 \times \frac{60}{100} = 50 \times 0.6 = 30 \text{ viên} \] Bước 2: Tính số viên bi màu vàng có đánh số - Tổng số viên bi màu vàng là 30 viên. - 50% số viên bi màu vàng có đánh số. Số viên bi màu vàng có đánh số: \[ 30 \times \frac{50}{100} = 30 \times 0.5 = 15 \text{ viên} \] Bước 3: Tính số viên bi màu vàng không đánh số - Tổng số viên bi màu vàng là 30 viên. - Số viên bi màu vàng có đánh số là 15 viên. Số viên bi màu vàng không đánh số: \[ 30 - 15 = 15 \text{ viên} \] Kết luận - Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30 viên. - Số viên bi màu vàng không đánh số là 15 viên. Đáp số: a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là 30 viên. b) Số viên bi màu vàng không đánh số là 15 viên.