Hộ vơi a tớ cảm onn Bài 5. Cho biểu thức: $A=(\frac1{x+2}-\frac{2x}{4-x^2}+\frac3{x-2})$ và $B=\frac{x+2}{3x+2}$ với $x
e2;x
e-2;x
e\frac{-2}3$,a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=-3.$,b) Rút gọn biểu thức $M=A.B.$,c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N=M.x^3-x^2-2x.$

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5410112,"userName":"Ng Phuong Hanh"}

a) Thay $x = -3$ vào biểu thức $B = \frac{x+2}{3x+2}$, ta có:

$B = \frac{-3+2}{3(-3)+2} = \frac{-1}{-9+2} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$

b) Rút gọn biểu thức $M = A \cdot B$.

Đầu tiên, ta rút gọn biểu thức $A$:

$A = \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{4-x^2} + \frac{3}{x-2} = \frac{1}{x+2} + \frac{2x}{x^2-4} + \frac{3}{x-2}$

$A = \frac{1}{x+2} + \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{x-2} = \frac{1(x-2) + 2x + 3(x+2)}{(x-2)(x+2)}$

$A = \frac{x-2+2x+3x+6}{(x-2)(x+2)} = \frac{6x+4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(3x+2)}{(x-2)(x+2)}$

Tiếp theo, ta rút gọn biểu thức $M = A \cdot B$:

$M = A \cdot B = \frac{2(3x+2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{3x+2} = \frac{2(3x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)(3x+2)}$

Vì $x eq 2$, $x eq -2$, $x eq -\frac{2}{3}$, nên ta có thể rút gọn:

$M = \frac{2}{x-2}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N = M \cdot x^3 - x^2 - 2x$.

Thay $M = \frac{2}{x-2}$ vào biểu thức $N$, ta có:

$N = \frac{2}{x-2} \cdot x^3 - x^2 - 2x = \frac{2x^3}{x-2} - x^2 - 2x = \frac{2x^3 - (x^2+2x)(x-2)}{x-2}$

$N = \frac{2x^3 - (x^3-2x^2+2x^2-4x)}{x-2} = \frac{2x^3 - (x^3-4x)}{x-2} = \frac{2x^3 - x^3 + 4x}{x-2}$

$N = \frac{x^3+4x}{x-2}$

Ta thực hiện phép chia đa thức:

$x^3+4x = (x^2+2x+8)(x-2) + 16$

$N = \frac{(x^2+2x+8)(x-2) + 16}{x-2} = x^2+2x+8 + \frac{16}{x-2}$

$N = (x^2-4x+4) + 6x + 4 + \frac{16}{x-2} = (x-2)^2 + 6(x-2) + 12 + \frac{16}{x-2}$

$N = (x-2)^2 + 6(x-2) + \frac{16}{x-2} + 12$

Đặt $t = x-2$, ta có $N = t^2 + 6t + \frac{16}{t} + 12$

Ta cần tìm min của $N$. Do $x e 2$ nên $t e 0$

Xét $N = t^2 + 6t + 12 + \frac{16}{t} = \left(t^2 + 4t + 4 ight) + \left(2t+\frac{16}{t} ight) + 8 - 4 = (t+2)^2 + 2\left(t + \frac{8}{t} ight) + 4$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $t+\frac{8}{t} \ge 2 \sqrt{t.\frac{8}{t}} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$

$N=(x-2)^2 + 2x + 8 + \frac{16}{x-2} = (x-2)^2 + 4 + 2\frac{16}{x-2} \ge 0 $

Không có giá trị nhỏ nhất.

Timi · Answer

Bài 5.
a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=-3.$

Thay $x=-3$ vào biểu thức $B$, ta có:
$$ B = \frac{-3 + 2}{3(-3) + 2} = \frac{-1}{-9 + 2} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7} $$

b) Rút gọn biểu thức $M = A \cdot B$.

Trước tiên, ta rút gọn biểu thức $A$:
$$ A = \left( \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{4-x^2} + \frac{3}{x-2} \right) $$

Chú ý rằng $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$, do đó:
$$ \frac{2x}{4 - x^2} = \frac{2x}{(2 - x)(2 + x)} = -\frac{2x}{(x - 2)(x + 2)} $$

Do đó:
$$ A = \frac{1}{x+2} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{3}{x-2} $$

Tìm mẫu chung của ba phân số là $(x-2)(x+2)$:
$$ A = \frac{(x-2) - 2x + 3(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x - 2 - 2x + 3x + 6}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x + 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x + 2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x-2} $$

Bây giờ, ta tính $M = A \cdot B$:
$$ M = \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x+2}{3x+2} = \frac{2(x+2)}{(x-2)(3x+2)} $$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N = M \cdot x^3 - x^2 - 2x$.

Thay $M$ vào biểu thức $N$:
$$ N = \frac{2(x+2)}{(x-2)(3x+2)} \cdot x^3 - x^2 - 2x $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $N$, ta cần xem xét các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$, $x \neq -2$, và $x \neq -\frac{2}{3}$.

Ta thử các giá trị gần các điểm cấm này để tìm giá trị nhỏ nhất của $N$. Ta thử $x = 0$:
$$ N = \frac{2(0+2)}{(0-2)(3 \cdot 0 + 2)} \cdot 0^3 - 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N$ là $0$, đạt được khi $x = 0$.

Đáp số:
a) Giá trị của biểu thức $B$ khi $x = -3$ là $\frac{1}{7}$.
b) Biểu thức $M = \frac{2(x+2)}{(x-2)(3x+2)}$.
c) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N$ là $0$, đạt được khi $x = 0$.