sốksjsnsjsksjsjsnsnsnsnsnnsnsnsnd

Câu 1. Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}} \] 2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \[ P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \] Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ: \[ P = x^{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)} \] 3. Tính tổng các số mũ: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] 4. Viết kết quả cuối cùng: \[ P = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \] Vậy biểu thức \( P \) được rút gọn thành \( \sqrt{x} \). Đáp án đúng là: \( A.~P = \sqrt{x} \). Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $y = \log_5(4x - x^2)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 4x - x^2 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 4x - x^2 > 0 \). Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: \[ x(4 - x) > 0 \] Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. Phương trình \( x(4 - x) = 0 \) có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 4 \). Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. Ta xét các khoảng: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 4) \), và \( (4, +\infty) \). - Trong khoảng \( (-\infty, 0) \), chọn \( x = -1 \): \[ (-1)(4 - (-1)) = (-1)(5) < 0 \] - Trong khoảng \( (0, 4) \), chọn \( x = 2 \): \[ (2)(4 - 2) = (2)(2) > 0 \] - Trong khoảng \( (4, +\infty) \), chọn \( x = 5 \): \[ (5)(4 - 5) = (5)(-1) < 0 \] Bước 4: Kết luận tập xác định. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( x(4 - x) > 0 \) chỉ đúng trong khoảng \( (0, 4) \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log_5(4x - x^2) \) là: \[ D = (0, 4) \] Đáp án đúng là: \( A.~D = (0, 4) \). Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng BA' và CD. Để làm điều này, ta sẽ tìm một đường thẳng song song với BA' và nằm trong mặt phẳng chứa CD. Xét mặt phẳng (ABCD), ta thấy rằng đường thẳng A'D song song với BA' vì chúng cùng song song với đường thẳng AA'. Do đó, góc giữa BA' và CD sẽ bằng góc giữa A'D và CD. Trong mặt phẳng (ABCD), ta thấy rằng A'D và CD là hai đường thẳng vuông góc với nhau (vì A'D vuông góc với AD và CD vuông góc với AD). Vậy góc giữa A'D và CD là 90°. Do đó, góc giữa BA' và CD cũng là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao: Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \) là đường cao hạ từ đỉnh \( S \) xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tìm hình chiếu: Hình chiếu của điểm \( C \) lên mặt phẳng (ABC) là chính nó, tức là \( C' = C \). 3. Tính khoảng cách: Ta cần tính khoảng cách từ \( S \) đến \( C \) và từ \( S \) đến \( A \): - \( SA = a \) - \( AC = a \) (vì tam giác ABC đều cạnh a) 4. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] 5. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC): Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là \( \theta \). Ta có: \[ \sin(\theta) = \frac{SA}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ \theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \). Đáp án đúng là: \( B.~45^0 \). Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') chung giao tuyến AC. 2. Xác định đường thẳng vuông góc với giao tuyến AC trong mỗi mặt phẳng: - Trong mặt phẳng (ABCD), đường thẳng BD vuông góc với AC (vì ABCD là hình vuông). - Trong mặt phẳng (ACC'A'), đường thẳng AA' vuông góc với AC (vì AA' là cạnh đứng của hình lập phương). 3. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AA': - Góc giữa hai đường thẳng BD và AA' chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'). - Vì AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên góc giữa AA' và BD sẽ là góc giữa AA' và mặt phẳng (ABCD). - Do đó, góc giữa AA' và BD là 90°. 4. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là góc giữa hai đường thẳng BD và AA', tức là 90°. Vậy góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(D.~90^\circ\). Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Khi đó, ta xét hai điểm A và C trên đáy hình bình hành ABCD. Vì ABCD là hình bình hành nên AC là đường chéo của nó. Đường chéo AC sẽ chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau, tức là tam giác ABC và tam giác ADC. Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). Điều này là do tính chất đối xứng của hình bình hành và vị trí của các đỉnh trong hình chóp. Vì vậy, khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) cũng sẽ là $\frac{6a}{7}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{6a}{7}$. Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể coi nó như một khối chóp với đáy là tam giác vuông ABC và chiều cao là AD. Bước 1: Tính diện tích đáy S của tam giác ABC. - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, do đó diện tích đáy S của tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] Bước 2: Tính thể tích V của khối chóp ABCD. - Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD \] \[ V = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 3a = \frac{1}{3} \times 6a^3 = 2a^3 \] Vậy thể tích V của khối tứ diện ABCD là: \[ V = 2a^3 \] Đáp án đúng là: C. \( V = 2a^3 \).