Giúp mình vs

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$, chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số $y = \sqrt{x}$ có thể viết lại dưới dạng $y = x^{\frac{1}{2}}$. Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm. Công thức nguyên hàm của $x^n$ là $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, với $n \neq -1$. Áp dụng vào hàm số của chúng ta: \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. \[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\int\sqrt xdx=\frac{2}{3}x\sqrt x+C. \] Câu 2. Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( M(2;0;-1) \) và có một vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (4; -6; 2) \), ta sử dụng công thức của phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (a, b, c) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( M(2; 0; -1) \) có \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 0 \), \( z_0 = -1 \) - Vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{a} = (4; -6; 2) \) có \( a = 4 \), \( b = -6 \), \( c = 2 \) Thay vào công thức trên, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = 0 - 6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy rằng phương án đúng là: \[ \textcircled{D.} \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Đáp án: D. Câu 3. Để tính xác suất của biến cố A, ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trước tiên, ta cần biết xác suất của biến cố $\overline{B}$, tức là biến cố B không xảy ra: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,01 + 0,09 \cdot 0,99 \] Ta thực hiện phép nhân: \[ 0,7 \cdot 0,01 = 0,007 \] \[ 0,09 \cdot 0,99 = 0,0891 \] Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại: \[ P(A) = 0,007 + 0,0891 = 0,0961 \] Vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 0,0961 \] Đáp án đúng là: A. 0,0961. Câu 4. Ta có: \[ \int^c_a f(x) \, dx = \int^b_a f(x) \, dx + \int^c_b f(x) \, dx \] Biết rằng: \[ \int^b_a f(x) \, dx = 2 \quad \text{và} \quad \int^c_a f(x) \, dx = 3 \] Thay vào công thức trên ta có: \[ 3 = 2 + \int^c_b f(x) \, dx \] Từ đó suy ra: \[ \int^c_b f(x) \, dx = 3 - 2 = 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. 1. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số $F(x) = e^{-2x}$, ta cần tìm hàm số $f(x)$ sao cho $F'(x) = f(x)$. Ta tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F(x) = e^{-2x} \] \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ $e^{g(x)}$, ta có: \[ \frac{d}{dx}(e^{g(x)}) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \] Trong trường hợp này, $g(x) = -2x$, nên: \[ g'(x) = \frac{d}{dx}(-2x) = -2 \] Do đó: \[ F'(x) = (-2) \cdot e^{-2x} = -2e^{-2x} \] Vậy, nguyên hàm của hàm số $F(x) = e^{-2x}$ là: \[ f(x) = -2e^{-2x} \] Đáp án đúng là: $A.~f(x) = -2e^{-2x}$. Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 1, 2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 4, 2 - 0, 3 - 1) = (-6, 2, 2) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ AB, tức là: \[ \vec{n} = (-6, 2, 2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] - Thay tọa độ trung điểm M (1, 1, 2) và vectơ pháp tuyến \((-6, 2, 2)\): \[ -6(x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ -6x + 6 + 2y - 2 + 2z - 4 = 0 \] \[ -6x + 2y + 2z = 0 \] \[ 3x - y - z = 0 \] Nhưng ta thấy rằng phương trình này không đúng vì nó không thỏa mãn điều kiện trung trực đoạn thẳng AB. Ta cần kiểm tra lại các phương án đã cho: - Phương án A: \(3x + y + z - 6 = 0\) - Phương án B: \(6x - 2y - 2z - 1 = 0\) - Phương án C: \(3x - y - z = 0\) - Phương án D: \(3x - y - z + 1 = 0\) Ta thử thay tọa độ trung điểm M vào các phương án: - Phương án A: \(3(1) + 1 + 2 - 6 = 0\) (sai) - Phương án B: \(6(1) - 2(1) - 2(2) - 1 = 6 - 2 - 4 - 1 = -1\) (sai) - Phương án C: \(3(1) - 1 - 2 = 0\) (sai) - Phương án D: \(3(1) - 1 - 2 + 1 = 0\) (đúng) Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ \boxed{3x - y - z + 1 = 0} \] Câu 7. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y = x^3 - x \) và \( y = x - x^2 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Để tìm giao điểm của hai đồ thị, ta giải phương trình: \[ x^3 - x = x - x^2 \] Rearrange the equation: \[ x^3 + x^2 - 2x = 0 \] Factorize the equation: \[ x(x^2 + x - 2) = 0 \] \[ x(x + 2)(x - 1) = 0 \] Vậy các giao điểm là: \[ x = 0, x = -2, x = 1 \] Bước 2: Xác định khoảng tích phân Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ \( x = -2 \) đến \( x = 1 \). Bước 3: Tính diện tích Diện tích \( A \) giữa hai đồ thị từ \( x = -2 \) đến \( x = 1 \) được tính bằng công thức: \[ A = \int_{-2}^{1} |(x - x^2) - (x^3 - x)| \, dx \] Simplifying the integrand: \[ A = \int_{-2}^{1} |x - x^2 - x^3 + x| \, dx \] \[ A = \int_{-2}^{1} |-x^3 - x^2 + 2x| \, dx \] Do \( -x^3 - x^2 + 2x \geq 0 \) trong khoảng \( [-2, 1] \), ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ A = \int_{-2}^{1} (-x^3 - x^2 + 2x) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân \[ A = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{1} \] Tính tại các cận: \[ A = \left( -\frac{1^4}{4} - \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( -\frac{(-2)^4}{4} - \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) \] \[ A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{16}{4} + \frac{8}{3} + 4 \right) \] \[ A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -4 + \frac{8}{3} + 4 \right) \] \[ A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{8}{3} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ A = \left( -\frac{3}{12} - \frac{4}{12} + \frac{12}{12} \right) - \left( \frac{32}{12} \right) \] \[ A = \left( \frac{-3 - 4 + 12}{12} \right) - \left( \frac{32}{12} \right) \] \[ A = \left( \frac{5}{12} \right) - \left( \frac{32}{12} \right) \] \[ A = \frac{5 - 32}{12} \] \[ A = \frac{-27}{12} \] \[ A = \frac{37}{12} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y = x^3 - x \) và \( y = x - x^2 \) là: \[ \boxed{\frac{37}{12}} \] Câu 8. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4$. Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2, -1, 3)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ A. (2, -1, 3) \] Đáp số: $A. (2, -1, 3)$. Câu 9. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B có công thức là: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của biến cố cả A và B xảy ra cùng lúc. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{D.}~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \]