Giải giúp mink vs ạ

Câu 3: Xác suất để cả hai nhân viên A và B đều trúng thưởng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,2 \times 0,25 = 0,05 \] Đáp số: 0,05 Câu 4: Để tính xác suất để viên bi lấy được màu đỏ, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính xác suất để chọn mỗi hộp: - Xác suất để chọn hộp I là $\frac{1}{3}$. - Xác suất để chọn hộp II là $\frac{1}{3}$. - Xác suất để chọn hộp III là $\frac{1}{3}$. 2. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ từ mỗi hộp: - Hộp I có 4 bi đỏ và 5 bi xanh, tổng cộng 9 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp I là $\frac{4}{9}$. - Hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi đen, tổng cộng 5 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp II là $\frac{3}{5}$. - Hộp III có 5 bi đỏ và 3 bi vàng, tổng cộng 8 bi. Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ hộp III là $\frac{5}{8}$. 3. Áp dụng công thức xác suất tổng: Xác suất để lấy được viên bi đỏ từ bất kỳ hộp nào là tổng của xác suất chọn mỗi hộp nhân với xác suất lấy được viên bi đỏ từ hộp đó. \[ P(\text{bi đỏ}) = P(\text{hộp I}) \times P(\text{bi đỏ} | \text{hộp I}) + P(\text{hộp II}) \times P(\text{bi đỏ} | \text{hộp II}) + P(\text{hộp III}) \times P(\text{bi đỏ} | \text{hộp III}) \] Thay các giá trị vào: \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} \] \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{9} + \frac{3}{5} + \frac{5}{8} \right) \] Chuyển các phân số về cùng mẫu số chung (LCM của 9, 5 và 8 là 360): \[ \frac{4}{9} = \frac{4 \times 40}{9 \times 40} = \frac{160}{360} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \times 72}{5 \times 72} = \frac{216}{360} \] \[ \frac{5}{8} = \frac{5 \times 45}{8 \times 45} = \frac{225}{360} \] \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \left( \frac{160}{360} + \frac{216}{360} + \frac{225}{360} \right) \] \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \left( \frac{160 + 216 + 225}{360} \right) \] \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{1}{3} \left( \frac{601}{360} \right) \] \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{601}{1080} \] Vậy xác suất để viên bi lấy được màu đỏ là $\frac{601}{1080}$. Câu 1: Để tính xác suất của biến cố \(A \cup B\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách chọn hai số từ tập \(E\) sao cho mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau: - Số cách chọn 3 chữ số từ 5 chữ số trong tập \(E\) là \(^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\). - Vì mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau, nên có \(60\) cách chọn mỗi số. - Tổng số cách chọn hai số là \(60 \times 60 = 3600\). 2. Tính xác suất của biến cố \(A\): - Biến cố \(A\) là "Số viết trước có chữ số 5 và số viết sau không có chữ số 5". - Số cách chọn số đầu tiên có chữ số 5: + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng trăm: \(4 \times 3 = 12\) cách (chọn 2 chữ số còn lại từ 4 chữ số còn lại). + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng chục: \(4 \times 3 = 12\) cách. + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng đơn vị: \(4 \times 3 = 12\) cách. + Tổng cộng: \(12 + 12 + 12 = 36\) cách. - Số cách chọn số thứ hai không có chữ số 5: + Chọn 3 chữ số từ 4 chữ số còn lại: \(^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24\) cách. - Tổng số cách chọn hai số theo biến cố \(A\) là \(36 \times 24 = 864\). - Xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = \frac{864}{3600} = \frac{12}{50}\). 3. Tính xác suất của biến cố \(B\): - Biến cố \(B\) là "Số viết trước không có chữ số 5 và số viết sau có chữ số 5". - Số cách chọn số đầu tiên không có chữ số 5: + Chọn 3 chữ số từ 4 chữ số còn lại: \(^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24\) cách. - Số cách chọn số thứ hai có chữ số 5: + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng trăm: \(4 \times 3 = 12\) cách. + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng chục: \(4 \times 3 = 12\) cách. + Chọn chữ số 5 ở vị trí hàng đơn vị: \(4 \times 3 = 12\) cách. + Tổng cộng: \(12 + 12 + 12 = 36\) cách. - Tổng số cách chọn hai số theo biến cố \(B\) là \(24 \times 36 = 864\). - Xác suất của biến cố \(B\) là \(P(B) = \frac{864}{3600} = \frac{12}{50}\). 4. Tính xác suất của biến cố \(A \cap B\): - Biến cố \(A \cap B\) là "Số viết trước có chữ số 5 và số viết sau cũng có chữ số 5". - Số cách chọn số đầu tiên có chữ số 5: \(36\) cách. - Số cách chọn số thứ hai có chữ số 5: \(36\) cách. - Tổng số cách chọn hai số theo biến cố \(A \cap B\) là \(36 \times 36 = 1296\). - Xác suất của biến cố \(A \cap B\) là \(P(A \cap B) = \frac{1296}{3600} = \frac{18}{50}\). 5. Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\): - Theo công thức xác suất của biến cố hợp: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). - Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ P(A \cup B) = \frac{12}{50} + \frac{12}{50} - \frac{18}{50} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} \] Vậy xác suất của biến cố \(A \cup B\) là \(\frac{3}{25}\). Câu 2: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ và các điểm: - Chọn gốc tọa độ tại A, trục Ox đi qua B, trục Oy đi qua D và trục Oz đi qua S. - Các điểm có tọa độ: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, $a\sqrt{6}$) 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng SC có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{SC} = (a, a, -a\sqrt{6})$ - Đường thẳng BD có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD} = (-a, a, 0)$ 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và BD: - Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SC và BD. - Ta có $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{SC} \times \overrightarrow{BD}$ - Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & -a\sqrt{6} \\ -a & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot 0 - (-a\sqrt{6}) \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot 0 - (-a\sqrt{6}) \cdot (-a)) + \mathbf{k}(a \cdot a - a \cdot (-a)) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(a^2\sqrt{6}) - \mathbf{j}(a^2\sqrt{6}) + \mathbf{k}(2a^2) = (a^2\sqrt{6}, -a^2\sqrt{6}, 2a^2) \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng SC: - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống đường thẳng SC. - Vectơ $\overrightarrow{BH}$ vuông góc với $\overrightarrow{SC}$, do đó $\overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{n}$. - Ta có $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{H} = (a, 0, 0) - (x, y, z)$ - Vì $\overrightarrow{BH}$ vuông góc với $\overrightarrow{SC}$ nên: \[ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{SC} = 0 \] \[ (a - x, -y, -z) \cdot (a, a, -a\sqrt{6}) = 0 \] \[ a(a - x) + a(-y) + (-z)(-a\sqrt{6}) = 0 \] \[ a^2 - ax - ay + az\sqrt{6} = 0 \] - Thay $\overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{n}$ vào phương trình trên: \[ a^2 - ak(a^2\sqrt{6}) - ak(-a^2\sqrt{6}) + ak(2a^2) = 0 \] \[ a^2 - ka^3\sqrt{6} + ka^3\sqrt{6} + 2ka^3 = 0 \] \[ a^2 + 2ka^3 = 0 \] \[ a^2(1 + 2ka) = 0 \] \[ 1 + 2ka = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2a} \] - Vậy $\overrightarrow{BH} = -\frac{1}{2a} (a^2\sqrt{6}, -a^2\sqrt{6}, 2a^2) = \left(-\frac{a\sqrt{6}}{2}, \frac{a\sqrt{6}}{2}, -a\right)$ - Khoảng cách từ B đến đường thẳng SC là: \[ d(B, SC) = |\overrightarrow{BH}| = \sqrt{\left(-\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{6a^2}{4} + \frac{6a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{12a^2}{4} + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là $2a$. Đáp số: $2a$. Câu 3: Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: - Vì đáy ABCD là hình thoi, ta có thể chia nó thành hai tam giác đều bằng nhau. - Gọi độ dài mỗi cạnh của hình thoi là \( a \). - Diện tích của một tam giác đều là \( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \). - Vậy diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \] 2. Tính chiều cao khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên SA chính là chiều cao của khối chóp. - Chiều cao SA đã cho là \( 3a \). 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Công thức tính thể tích khối chóp là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times h \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 \times 3a = \frac{\sqrt{3}}{2} a^3 \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{2} a^3 \]