giúp mình chi tiết với ạ

Câu 1: Nghiệm của phương trình $\log_2x=3$ Để giải phương trình $\log_2x=3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: - Đối với phương trình logarit, điều kiện xác định là $x > 0$. 2. Giải phương trình: - Ta có $\log_2x=3$. Điều này có nghĩa là $x$ là số mà khi lấy logarit cơ số 2 sẽ bằng 3. - Do đó, $x = 2^3$. - Tính toán: $2^3 = 8$. 3. Kiểm tra điều kiện: - $x = 8$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2x=3$ là $x = 8$. Đáp án đúng là $B.~x=8.$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u=2\overrightarrow i-5\overrightarrow k$ Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ: - Vectơ $\overrightarrow u$ được viết dưới dạng $\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 5\overrightarrow k$. - Trong không gian Oxyz, vectơ $\overrightarrow i$ tương ứng với trục Ox, vectơ $\overrightarrow j$ tương ứng với trục Oy, và vectơ $\overrightarrow k$ tương ứng với trục Oz. 2. Tọa độ của vectơ: - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(2, 0, -5)$, vì: - Hệ số của $\overrightarrow i$ là 2. - Hệ số của $\overrightarrow j$ là 0 (không có thành phần dọc theo trục Oy). - Hệ số của $\overrightarrow k$ là -5. Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $(2, 0, -5)$. Câu 2: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là (-1; 2; 1). Tọa độ của điểm B là (2; 1; -3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của điểm A và điểm B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - (-1), 1 - 2, -3 - 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (2 + 1, 1 - 2, -3 - 1) \] \[ \overrightarrow{AB} = (3, -1, -4) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là (3, -1, -4). Đáp án: (3, -1, -4). Câu 3: Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các công việc sau: 1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$: - $\overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - \frac{1}{2}; 1 - \frac{3}{2}; 4 + 1) = (-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}; 5)$ - $\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - \frac{1}{2}; -1 - \frac{3}{2}; -4 + 1) = (\frac{5}{2}; -\frac{5}{2}; -3)$ - $\overrightarrow{AD} = D - A = (1 - \frac{1}{2}; 3 - \frac{3}{2}; -2 + 1) = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; -1)$ 2. Kiểm tra tính đồng phẳng của các điểm A, B, C, D: - Ta kiểm tra xem các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ có đồng phẳng hay không bằng cách tính tích hỗn hợp: \[ [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} -\frac{7}{2} & -\frac{1}{2} & 5 \\ \frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & -3 \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -1 \end{vmatrix} \] Tính định thức này: \[ = -\frac{7}{2} \left( -\frac{5}{2} \cdot (-1) - (-3) \cdot \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{5}{2} \cdot (-1) - (-3) \cdot \frac{1}{2} \right) + 5 \left( \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}) \cdot \frac{1}{2} \right) \] \[ = -\frac{7}{2} \left( \frac{5}{2} - \frac{9}{2} \right) + \frac{1}{2} \left( -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) + 5 \left( \frac{15}{4} + \frac{5}{4} \right) \] \[ = -\frac{7}{2} \left( -2 \right) + \frac{1}{2} \left( -1 \right) + 5 \left( 5 \right) \] \[ = 7 - \frac{1}{2} + 25 \] \[ = 31.5 \] Vì tích hỗn hợp không bằng 0, nên các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng, do đó các điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 3. Tìm diện tích hình bình hành ABCD: - Diện tích hình bình hành được tính bằng cách nhân độ dài hai vectơ liên tiếp và sin góc giữa chúng. Ta chọn hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \sin(\theta) \] Độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left( -\frac{7}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 5^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{1}{4} + 25} = \sqrt{\frac{50}{4} + 25} = \sqrt{12.5 + 25} = \sqrt{37.5} \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-3)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 9} = \sqrt{\frac{50}{4} + 9} = \sqrt{12.5 + 9} = \sqrt{21.5} \] Góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( -\frac{7}{2} \right) \left( \frac{5}{2} \right) + \left( -\frac{1}{2} \right) \left( -\frac{5}{2} \right) + 5 \cdot (-3) = -\frac{35}{4} + \frac{5}{4} - 15 = -\frac{30}{4} - 15 = -7.5 - 15 = -22.5 \] \[ \cos(\theta) = \frac{-22.5}{\sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5}} \] \[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} \] Diện tích: \[ S_{ABCD} = \sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{-22.5}{\sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5}} \right)^2} \] Kết quả cuối cùng: \[ S_{ABCD} = \sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{-22.5}{\sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5}} \right)^2} \] Đáp số: Diện tích hình bình hành ABCD là $\sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{-22.5}{\sqrt{37.5} \cdot \sqrt{21.5}} \right)^2}$. Câu 4: Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x$ là: Ta biết rằng đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. Do đó, đạo hàm của $-\cos x$ sẽ là $\sin x$. Vì vậy, nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x + C$, trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Vậy đáp án đúng là: \[ C. -\cos x + C. \] Câu 5: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0;4]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2 + 3) = 4x^3 - 8x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 4x^3 - 8x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{2} \] Trong đó, chỉ có $x = 0$ và $x = \sqrt{2}$ nằm trong đoạn $[0;4]$. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại $x = 0$: \[ y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] - Tại $x = \sqrt{2}$: \[ y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] - Tại $x = 4$: \[ y(4) = 4^4 - 4 \cdot 4^2 + 3 = 256 - 64 + 3 = 195 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính Các giá trị của hàm số tại các điểm đã xét là: - $y(0) = 3$ - $y(\sqrt{2}) = -1$ - $y(4) = 195$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $-1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$ trên đoạn $[0;4]$ là $-1$, đạt được khi $x = \sqrt{2}$. Đáp án đúng là: D. -1. Câu 6: Để tính xác suất để rút được cả hai tấm thẻ cùng ghi số chẵn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách rút 2 tấm thẻ từ 9 tấm thẻ: - Số cách chọn 2 tấm thẻ từ 9 tấm thẻ là: \[ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] 2. Tìm số cách rút 2 tấm thẻ ghi số chẵn: - Các số chẵn từ 1 đến 9 là: 2, 4, 6, 8 (tổng cộng 4 số). - Số cách chọn 2 tấm thẻ từ 4 tấm thẻ ghi số chẵn là: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] 3. Tính xác suất: - Xác suất để rút được cả hai tấm thẻ cùng ghi số chẵn là: \[ P = \frac{\text{Số cách rút 2 tấm thẻ ghi số chẵn}}{\text{Tổng số cách rút 2 tấm thẻ}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] Vậy xác suất để rút được cả hai tấm thẻ cùng ghi số chẵn là $\frac{1}{6}$. Đáp án đúng là: $D.~\frac{1}{6}$. Câu 7: Để tìm số hạng $u_4$ của cấp số nhân $(u_n)$, ta cần biết công bội $q$ của cấp số nhân này. Bước 1: Tìm công bội $q$ Công bội $q$ của cấp số nhân được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng thứ nhất: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{6}{2} = 3 \] Bước 2: Tìm số hạng $u_4$ Số hạng thứ tư của cấp số nhân được tính bằng cách nhân số hạng thứ nhất với công bội lũy thừa ba (vì $u_4 = u_1 \cdot q^3$): \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54 \] Vậy số hạng $u_4$ của cấp số nhân là 54. Đáp án đúng là: C. 54 Câu 8: Để giải bất phương trình $\log_{\frac12}(x+1) \leq \log_{\frac12}(2x-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 > 0 \] Giải các bất phương trình này: \[ x > -1 \] \[ 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2} \] Vậy ĐKXĐ là: \[ x > \frac{1}{2} \] Bước 2: So sánh các biểu thức logarit Vì cơ số của logarit là $\frac{1}{2}$ (một số nhỏ hơn 1), nên hàm logarit giảm. Do đó, nếu $\log_{\frac12}(x+1) \leq \log_{\frac12}(2x-1)$ thì ta có: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] Bước 3: Giải bất phương trình Giải bất phương trình: \[ x + 1 \geq 2x - 1 \] \[ 1 + 1 \geq 2x - x \] \[ 2 \geq x \] \[ x \leq 2 \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Ta đã có ĐKXĐ là $x > \frac{1}{2}$ và từ bất phương trình ta có $x \leq 2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ \left( \frac{1}{2}, 2 \right] \] Đáp án: A. $(\frac{1}{2}; 2]$ Câu 9: Thể tích của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} Sh \] Trong đó: - \( S \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~V = \frac{1}{3} Sh \] Câu 10: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, ta cần xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng (\( x \to +\infty \)) và khi \( x \) tiến đến âm vô cùng (\( x \to -\infty \)). Trên đồ thị, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) hoặc \( -\infty \), giá trị của hàm số \( y = f(x) \) tiến gần đến giá trị \( y = 2 \). Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình: \[ y = 2 \] Đáp số: \( y = 2 \)