giải giúp mình với

Câu 9. a) Giải phương trình: $x^2 - 2026x + 2025 = 0.$ Ta có: \[ x^2 - 2026x + 2025 = 0 \] Áp dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2026x + 2025 = (x - 1)(x - 2025) = 0 \] Từ đây ta có: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2025 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2025 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2025 \] b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} 5x + 2y = 7 \\ 3x - 2y = 1 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (5x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 1 \] \[ 8x = 8 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 5(1) + 2y = 7 \] \[ 5 + 2y = 7 \] \[ 2y = 2 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = 1, \quad y = 1 \] Câu10. Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Bước 1: Rút gọn từng phân thức: \[ A = \frac{3x + 5\sqrt{x} - 11}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] Bước 2: Nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn: \[ \frac{3x + 5\sqrt{x} - 11}{x + \sqrt{x} - 2} = \frac{(3\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \] Bước 3: Rút gọn phân thức thứ hai: \[ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} \] Bước 4: Rút gọn phân thức thứ ba: \[ \frac{2}{\sqrt{x} + 2} \] Bước 5: Kết hợp các phân thức lại: \[ A = \frac{3\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] Bước 6: Quy đồng mẫu số: \[ A = \frac{(3\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] \[ = \frac{3\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] \[ = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] Bước 7: Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] Bước 8: Kết luận: \[ A = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \] Đáp số: \( A = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{2}{\sqrt{x} + 2} - 1 \) Câu 11. Để phương trình $x^2 - 2(m-2)x + m^2 - 3m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta > 0$. Tính $\Delta$: \[ \Delta = [2(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 3m - 2) \] \[ \Delta = 4(m-2)^2 - 4(m^2 - 3m - 2) \] \[ \Delta = 4(m^2 - 4m + 4) - 4(m^2 - 3m - 2) \] \[ \Delta = 4m^2 - 16m + 16 - 4m^2 + 12m + 8 \] \[ \Delta = -4m + 24 \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[ -4m + 24 > 0 \] \[ -4m > -24 \] \[ m < 6 \] Bây giờ, ta xét phương trình $x^2_1 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 7m + 6 = 0$. Ta thay $x_1$ và $x_2$ vào phương trình này. Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2(m-2) \] \[ x_1 x_2 = m^2 - 3m - 2 \] Thay vào phương trình $x^2_1 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 7m + 6 = 0$: \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0 \] Ta biết rằng $x_1 + x_2 = 2(m-2)$ và $x_1 x_2 = m^2 - 3m - 2$. Thay vào phương trình trên: \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + m^2 - 7m + 6 = 0 \] Ta cần tìm $m$ sao cho phương trình này đúng. Ta thử các giá trị $m$ thỏa mãn $m < 6$. Kiểm tra $m = 3$: \[ x_1 + x_2 = 2(3-2) = 2 \] \[ x_1 x_2 = 3^2 - 3 \cdot 3 - 2 = 9 - 9 - 2 = -2 \] Thay vào phương trình: \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + 3^2 - 7 \cdot 3 + 6 = 0 \] \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + 9 - 21 + 6 = 0 \] \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 - 6 = 0 \] Kiểm tra $m = 4$: \[ x_1 + x_2 = 2(4-2) = 4 \] \[ x_1 x_2 = 4^2 - 3 \cdot 4 - 2 = 16 - 12 - 2 = 2 \] Thay vào phương trình: \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + 4^2 - 7 \cdot 4 + 6 = 0 \] \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + 16 - 28 + 6 = 0 \] \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 - 6 = 0 \] Vậy $m = 3$ hoặc $m = 4$ thỏa mãn điều kiện của bài toán. Đáp số: $m = 3$ hoặc $m = 4$. Câu 12. Gọi vận tốc dự định của ô tô là \( v \) (km/h), thời gian dự định là \( t \) (giờ). Khi xe chạy nhanh hơn 10 km/h, vận tốc mới là \( v + 10 \) (km/h) và thời gian đi là \( t - 3 \) (giờ). Khi xe chạy chậm hơn 10 km/h, vận tốc mới là \( v - 10 \) (km/h) và thời gian đi là \( t + 5 \) (giờ). Quãng đường từ A đến B là: \[ v \cdot t = (v + 10) \cdot (t - 3) = (v - 10) \cdot (t + 5) \] Từ đây ta có hai phương trình: \[ v \cdot t = (v + 10) \cdot (t - 3) \] \[ v \cdot t = (v - 10) \cdot (t + 5) \] Phương trình thứ nhất: \[ v \cdot t = v \cdot t - 3v + 10t - 30 \] \[ 0 = -3v + 10t - 30 \] \[ 3v = 10t - 30 \quad \text{(1)} \] Phương trình thứ hai: \[ v \cdot t = v \cdot t + 5v - 10t - 50 \] \[ 0 = 5v - 10t - 50 \] \[ 5v = 10t + 50 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ 3v = 10t - 30 \quad \text{(1)} \] \[ 5v = 10t + 50 \quad \text{(2)} \] Chúng ta sẽ trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ 5v - 3v = (10t + 50) - (10t - 30) \] \[ 2v = 80 \] \[ v = 40 \] Thay \( v = 40 \) vào phương trình (1): \[ 3 \cdot 40 = 10t - 30 \] \[ 120 = 10t - 30 \] \[ 10t = 150 \] \[ t = 15 \] Vậy vận tốc ban đầu của xe là 40 km/h. Đáp số: 40 km/h. Câu 13. Để tính thể tích phần gỗ của 2025 chiếc bút chì, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của một chiếc bút chì: - Thể tích của một hình trụ được tính bằng công thức: \( V = \pi r^2 h \), trong đó \( r \) là bán kính đáy và \( h \) là chiều cao. 2. Tính thể tích của phần thân bút chì (gỗ): - Đường kính đáy của thân bút chì là 8mm, do đó bán kính \( r_1 = \frac{8}{2} = 4 \) mm. - Chiều cao của thân bút chì là 180mm. - Thể tích của phần thân bút chì: \[ V_{thân} = \pi r_1^2 h = 3,14 \times 4^2 \times 180 = 3,14 \times 16 \times 180 = 9043,2 \text{ mm}^3 \] 3. Tính thể tích của phần lõi bút chì (than chì): - Đường kính đáy của phần lõi bút chì là 2mm, do đó bán kính \( r_2 = \frac{2}{2} = 1 \) mm. - Chiều cao của phần lõi bút chì cũng là 180mm. - Thể tích của phần lõi bút chì: \[ V_{lõi} = \pi r_2^2 h = 3,14 \times 1^2 \times 180 = 3,14 \times 1 \times 180 = 565,2 \text{ mm}^3 \] 4. Tính thể tích phần gỗ của một chiếc bút chì: - Thể tích phần gỗ của một chiếc bút chì là thể tích của phần thân trừ đi thể tích của phần lõi: \[ V_{gỗ} = V_{thân} - V_{lõi} = 9043,2 - 565,2 = 8478 \text{ mm}^3 \] 5. Tính thể tích phần gỗ của 2025 chiếc bút chì: - Thể tích phần gỗ của 2025 chiếc bút chì: \[ V_{tổng} = 2025 \times V_{gỗ} = 2025 \times 8478 = 17155050 \text{ mm}^3 \] Vậy, thể tích phần gỗ của 2025 chiếc bút chì là 17155050 mm³. Câu 14. a) Ta có $\widehat{MBO}=\widehat{MHK}=90^\circ$ nên BOMH là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) b) Ta có $\widehat{BMO}=\widehat{BHO}$ (cùng chắn cung BO) và $\widehat{BMO}=\widehat{HCK}$ (góc giữa tia phân giác và cạnh bên của một tam giác bằng nửa góc ngoài đỉnh kia) nên $\widehat{BHO}=\widehat{HCK}$ $\widehat{BHO}+\widehat{HBC}=180^\circ$ (cặp góc trong cùng phía) nên $\widehat{HCK}+\widehat{HBC}=180^\circ$ nên BCKH là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) $\widehat{BME}=\widehat{HCE}$ (cùng phụ với $\widehat{EMH}$) nên $\Delta BME$ đồng dạng với $\Delta HCE$ (g.g) nên $\frac{ME}{HE}=\frac{BE}{CE}$ hay $ME.CE=BE.HE$ Ta có $\widehat{BKH}=\widehat{BMH}$ (cùng chắn cung BH) và $\widehat{BMH}=\widehat{BCH}$ (cùng phụ với $\widehat{CBH}$) nên $\widehat{BKH}=\widehat{BCH}$. Mà $\widehat{BKH}+\widehat{BCH}=180^\circ$ nên $\widehat{BKH}=90^\circ$ nên $\widehat{BKE}=90^\circ$ nên $\widehat{BKE}+\widehat{BCE}=180^\circ$ nên CKEB là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp) nên C, K, E thẳng hàng (nếu có 4 điểm tạo thành tứ giác nội tiếp và có 3 điểm thẳng hàng thì 4 điểm thẳng hàng). Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần so sánh diện tích toàn phần của hai mô hình: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ, để xác định mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. Mô hình 1: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông Giả sử cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là \( a \) và chiều cao là \( h \). Thể tích của hình hộp chữ nhật: \[ V = a^2 \cdot h \] Biết rằng thể tích \( V = 100 \, \text{ml} = 100 \, \text{cm}^3 \): \[ a^2 \cdot h = 100 \] \[ h = \frac{100}{a^2} \] Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \[ S_{\text{tổng}} = 2a^2 + 4ah \] Thay \( h = \frac{100}{a^2} \) vào: \[ S_{\text{tổng}} = 2a^2 + 4a \left( \frac{100}{a^2} \right) \] \[ S_{\text{tổng}} = 2a^2 + \frac{400}{a} \] Mô hình 2: Hình trụ Giả sử bán kính đáy của hình trụ là \( r \) và chiều cao là \( h \). Thể tích của hình trụ: \[ V = \pi r^2 \cdot h \] Biết rằng thể tích \( V = 100 \, \text{cm}^3 \): \[ \pi r^2 \cdot h = 100 \] \[ h = \frac{100}{\pi r^2} \] Diện tích toàn phần của hình trụ: \[ S_{\text{tổng}} = 2\pi r^2 + 2\pi rh \] Thay \( h = \frac{100}{\pi r^2} \) vào: \[ S_{\text{tổng}} = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{100}{\pi r^2} \right) \] \[ S_{\text{tổng}} = 2\pi r^2 + \frac{200}{r} \] So sánh diện tích toàn phần của hai mô hình Để so sánh diện tích toàn phần của hai mô hình, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần cho mỗi mô hình. Mô hình 1: Hình hộp chữ nhật Diện tích toàn phần: \[ S_{\text{tổng}} = 2a^2 + \frac{400}{a} \] Mô hình 2: Hình trụ Diện tích toàn phần: \[ S_{\text{tổng}} = 2\pi r^2 + \frac{200}{r} \] Ta thấy rằng diện tích toàn phần của hình trụ thường nhỏ hơn diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật do diện tích đáy của hình trụ là \( \pi r^2 \) (nhỏ hơn \( a^2 \)) và diện tích xung quanh của hình trụ cũng thường nhỏ hơn diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật. Do đó, mô hình hình trụ sẽ tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. Kết luận: Thiết kế theo mô hình hình trụ sẽ tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.