Giải PT bậc nhất

Linh Cao

Lời giải:

Điều kiện xác định: $a, b, c \neq 0$ và $a+b+c \neq 0$.

Từ giả thiết $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$, ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b+c} - \frac{1}{c}$

Quy đồng mẫu số hai vế, ta được:

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - (a+b+c)}{c(a+b+c)}$

$\frac{a+b}{ab} = \frac{c - a - b - c}{c(a+b+c)}$

$\frac{a+b}{ab} = \frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$

$(a+b) \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{c(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{c(a+b+c) + ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$(a+b) \left( \frac{ac+bc+c^2+ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

Phân tích tử số của phân thức trong ngoặc:

$ac+bc+c^2+ab = c(a+c) + b(c+a) = (a+c)(b+c)$

Do đó, phương trình trở thành:

$\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc(a+b+c)} = 0$

Vì $a, b, c \neq 0$ và $a+b+c \neq 0$, nên mẫu số $abc(a+b+c) \neq 0$.

Suy ra $(a+b)(a+c)(b+c) = 0$.

Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các thừa số sau phải bằng 0:

$a+b = 0$ hoặc $a+c = 0$ hoặc $b+c = 0$.

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a^{2025}} + \frac{1}{b^{2025}} + \frac{1}{c^{2025}} = \frac{1}{a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}}$.

Đặt $n = 2025$. Vì $n$ là số lẻ, ta có $(-x)^n = -x^n$.

Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $a+b = 0 \implies a = -b$.

Vì $a \neq 0$, nên $b \neq 0$.

Khi đó $a^n = (-b)^n = -b^n$.

Vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VT = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{-b^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = 0 + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n}$.

Vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VP = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} = \frac{1}{(-b^n) + b^n + c^n} = \frac{1}{0 + c^n} = \frac{1}{c^n}$.

Do đó, $VT = VP$.

Trường hợp 2: $a+c = 0 \implies a = -c$.

Vì $a \neq 0$, nên $c \neq 0$.

Khi đó $a^n = (-c)^n = -c^n$.

Vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VT = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{-c^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = 0 + \frac{1}{b^n} = \frac{1}{b^n}$.

Vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VP = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} = \frac{1}{(-c^n) + b^n + c^n} = \frac{1}{0 + b^n} = \frac{1}{b^n}$.

Do đó, $VT = VP$.

Trường hợp 3: $b+c = 0 \implies b = -c$.

Vì $b \neq 0$, nên $c \neq 0$.

Khi đó $b^n = (-c)^n = -c^n$.

Vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VT = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{-c^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n} + 0 = \frac{1}{a^n}$.

Vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh là:

$VP = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} = \frac{1}{a^n + (-c^n) + c^n} = \frac{1}{a^n + 0} = \frac{1}{a^n}$.

Do đó, $VT = VP$.

Kết luận: Trong cả ba trường hợp, đẳng thức $\frac{1}{a^{2025}} + \frac{1}{b^{2025}} + \frac{1}{c^{2025}} = \frac{1}{a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}}$ đều đúng.

Vậy, với điều kiện $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$, ta đã chứng minh được $\frac{1}{a^{2025}} + \frac{1}{b^{2025}} + \frac{1}{c^{2025}} = \frac{1}{a^{2025} + b^{2025} + c^{2025}}$. (Điều phải chứng minh).