Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H . Chứng minh a) HBF ~ HCE . b) HB HE = HF  HC = HA HD. c) EH là tia phân giác của góc DEF .

linh2023

a) Xét $\triangle HBF$ và $\triangle HCE$ có:

$\angle HFB = \angle HEC = 90^\circ$ (vì $CF \perp AB$, $BE \perp AC$)

$\angle FHB = \angle EHC$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\triangle HBF \sim \triangle HCE$ (g.g).

b) Vì $\triangle HBF \sim \triangle HCE$ (chứng minh trên), suy ra:

$\frac{HB}{HC} = \frac{HF}{HE}$

$\Rightarrow HB \cdot HE = HF \cdot HC$ (1)

Xét $\triangle HFA$ và $\triangle HDC$ có:

$\angle HFA = \angle HDC = 90^\circ$ (vì $CF \perp AB$, $AD \perp BC$)

$\angle FHA = \angle DHC$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\triangle HFA \sim \triangle HDC$ (g.g).

Suy ra: $\frac{HA}{HC} = \frac{HF}{HD}$

$\Rightarrow HA \cdot HD = HF \cdot HC$ (2)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $HB \cdot HE = HF \cdot HC = HA \cdot HD$.

c) Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\angle AEH = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$)

$\angle AFH = 90^\circ$ (vì $CF \perp AB$)

$\Rightarrow \angle AEH + \angle AFH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn.

$\Rightarrow \angle FEH = \angle FAH$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH) (3)

Xét tứ giác $CDHE$ có:

$\angle CEH = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$)

$\angle CDH = 90^\circ$ (vì $AD \perp BC$)

Suy ra tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn (vì có hai đỉnh D, E cùng nhìn cạnh CH dưới một góc vuông).

$\Rightarrow \angle DEH = \angle DCH$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DH) (4)

Xét $\triangle AB E$ vuông tại E, ta có: $\angle BAE = 90^\circ - \angle ABE$. Hay $\angle FAH = 90^\circ - \angle ABC$.

Xét $\triangle BCF$ vuông tại F, ta có: $\angle BCF = 90^\circ - \angle CBF$. Hay $\angle DCH = 90^\circ - \angle ABC$.

Suy ra $\angle FAH = \angle DCH$ $(5)$

Từ $(3), (4)$ và $(5)$ suy ra $\angle FEH = \angle DEH$.

Vậy EH là tia phân giác của góc $DEF$.