giúp voi ahhh

Câu 5. 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn: - Xét tam giác OMA và OMB: + OA = OB (bán kính của đường tròn) + OM chung + $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$ (vì MA và MB là tiếp tuyến) Do đó, tam giác OMA và OMB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Từ đó, ta có $\angle OAM = \angle OBM$. - Vì $\angle OAM + \angle OBM = 180^\circ$ (tổng hai góc kề bù), nên tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. 2) Chứng minh $MN^2 = NF \cdot NA$: - Xét tam giác MAN và MFN: + $\angle MAN = \angle MFA$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AF) + $\angle AMN = \angle FMN$ (chung) Do đó, tam giác MAN và MFN đồng dạng (góc - góc). - Từ đó, ta có tỉ lệ: $\frac{MN}{NA} = \frac{NF}{MN}$. - Nhân cả hai vế với MN, ta được: $MN^2 = NF \cdot NA$. 3) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh $MN = NH$ và $\frac{HB^2}{HF^2} - \frac{EF}{MF} = 1$: - Ta có $\angle OAH = \angle OAB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OB). - Vì $\angle OAB = \angle OBA$ (tứ giác MAOB nội tiếp), nên $\angle OAH = \angle OBA$. - Xét tam giác OAH và OBN: + $\angle OAH = \angle OBN$ (chứng minh trên) + $\angle OHA = \angle ONB$ (góc đối đỉnh) Do đó, tam giác OAH và OBN đồng dạng (góc - góc). - Từ đó, ta có tỉ lệ: $\frac{OA}{ON} = \frac{OH}{OB}$. - Vì OA = OB (bán kính của đường tròn), nên ON = OH. - Do đó, $MN = NH$ (vì ON = OH và N là giao điểm của MO và AF). - Để chứng minh $\frac{HB^2}{HF^2} - \frac{EF}{MF} = 1$, ta xét tam giác HBF và HEF: + $\angle HBF = \angle HEF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF) + $\angle HFB = \angle HFE$ (góc đối đỉnh) Do đó, tam giác HBF và HEF đồng dạng (góc - góc). - Từ đó, ta có tỉ lệ: $\frac{HB}{HF} = \frac{EF}{MF}$. - Nhân cả hai vế với $\frac{HB}{HF}$, ta được: $\frac{HB^2}{HF^2} = \frac{EF}{MF}$. - Do đó, $\frac{HB^2}{HF^2} - \frac{EF}{MF} = 1$. Câu 6. Để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất, ta cần diện tích của hình tròn lớn nhất. Diện tích của hình tròn sẽ lớn nhất khi bán kính của nó lớn nhất. Bán kính của hình tròn này sẽ là khoảng cách từ tâm hình chữ nhật đến đỉnh của hình chữ nhật. Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD lần lượt là l và w (đơn vị: mét). Ta có diện tích của hình chữ nhật là: \[ l \times w = 640 \] Tâm của hình chữ nhật nằm ở giữa, do đó bán kính của hình tròn sẽ là: \[ R = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2} \] Diện tích của hình tròn là: \[ S_{\text{hình tròn}} = \pi R^2 = \pi \left( \left(\frac{l}{2}\right)^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 \right) = \pi \left( \frac{l^2}{4} + \frac{w^2}{4} \right) = \frac{\pi}{4} (l^2 + w^2) \] Để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất, ta cần diện tích của hình tròn lớn nhất, tức là \( l^2 + w^2 \) phải lớn nhất. Do đó, ta cần tối ưu hóa \( l^2 + w^2 \) dưới ràng buộc \( l \times w = 640 \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ l^2 + w^2 \geq 2lw \] \[ l^2 + w^2 \geq 2 \times 640 = 1280 \] Đẳng thức xảy ra khi \( l = w \). Vì vậy, để tối ưu hóa \( l^2 + w^2 \), ta cần \( l = w \). Từ đó: \[ l \times w = 640 \] \[ l^2 = 640 \] \[ l = \sqrt{640} = 8\sqrt{10} \] \[ w = 8\sqrt{10} \] Vậy kích thước của hình chữ nhật ABCD để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất là: \[ l = 8\sqrt{10} \text{ mét} \] \[ w = 8\sqrt{10} \text{ mét} \] Đáp số: \( l = 8\sqrt{10} \text{ mét}, w = 8\sqrt{10} \text{ mét} \) Câu 1 1). Tính tần số tương đối ghép nhóm và tần số ghép nhóm của nhóm [170;180). Tần số tương đối của nhóm [170;180) là: \[ \frac{8}{40} = 0,2 \] Tần số ghép nhóm của nhóm [170;180) là 8. 2). Trong một trò chơi xúc xắc, một người chơi lần lượt gieo hai viên xúc xắc. Xác định không gian mẫu của phép thử và tính xác suất cho biến cố B: Hai viên xúc xắc đều ra số lẻ. - Mỗi viên xúc xắc có 6 mặt, do đó khi gieo hai viên xúc xắc, tổng số kết quả có thể xảy ra là: \[ 6 \times 6 = 36 \] - Các kết quả có thể xảy ra khi gieo hai viên xúc xắc là: \[ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \] - Biến cố B: Hai viên xúc xắc đều ra số lẻ. Các kết quả có thể xảy ra là: \[ (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) \] - Số kết quả có thể xảy ra trong biến cố B là 9. - Xác suất của biến cố B là: \[ \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \] Đáp số: 1). Tần số tương đối của nhóm [170;180) là 0,2 và tần số ghép nhóm của nhóm [170;180) là 8. 2). Xác suất của biến cố B là $\frac{1}{4}$. Câu 2: 1) Giải phương trình: $x(x-4)-2(4-x)=-5$ Điều kiện xác định: $x \in \mathbb{R}$ $x(x-4)-2(4-x)=-5$ $x(x-4)+2(x-4)=-5$ $(x+2)(x-4)=-5$ $x^2-2x-8=-5$ $x^2-2x-3=0$ $(x-3)(x+1)=0$ $x = 3$ hoặc $x = -1$ 2) Rút gọn biểu thức $B=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac4{\sqrt x-3}+\frac{x-4\sqrt x+15}{9-x}$ với $x>0;x\ne9$ Điều kiện xác định: $x > 0; x \neq 9$ $B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{4}{\sqrt{x}-3} + \frac{x-4\sqrt{x}+15}{9-x}$ $B = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{4(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \frac{x-4\sqrt{x}+15}{-(x-9)}$ $B = \frac{2x-6\sqrt{x}}{x-9} + \frac{4\sqrt{x}+12}{x-9} - \frac{x-4\sqrt{x}+15}{x-9}$ $B = \frac{2x-6\sqrt{x}+4\sqrt{x}+12-x+4\sqrt{x}-15}{x-9}$ $B = \frac{x+2\sqrt{x}-3}{x-9}$ 3) Cho phương trình $x^2-12x+4=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1,x_2.$ Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T=\frac{x^2_1+x^2_2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}.$ Theo định lý Vi-et: $x_1 + x_2 = 12$ $x_1 \cdot x_2 = 4$ Ta có: $x^2_1 + x^2_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 12^2 - 2 \cdot 4 = 144 - 8 = 136$ $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{(x_1 + x_2) + 2\sqrt{x_1x_2}} = \sqrt{12 + 2 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$ Do đó: $T = \frac{x^2_1 + x^2_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} = \frac{136}{4} = 34$ Đáp số: 1) $x = 3$ hoặc $x = -1$ 2) $B = \frac{x+2\sqrt{x}-3}{x-9}$ 3) $T = 34$ Câu 3 Giá sau khi giảm của đôi giày là 82% giá ban đầu của đôi giày. Giá sau khi giảm của chiếc cà vạt là 80% giá ban đầu của chiếc cà vạt. Ta có sơ đồ: Giá sau khi giảm của đôi giày: |---|---|---|---|---|---|---|---| Giá sau khi giảm của chiếc cà vạt: |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| Tổng số phần bằng nhau là: $8+10=18$ (phần) Giá sau khi giảm của đôi giày là: $834700:18\times 8=370533,33$ (đồng) Giá ban đầu của đôi giày là: $370533,33:82\times 100=451870$ (đồng) Giá sau khi giảm của chiếc cà vạt là: $834700-370533,33=464166,67$ (đồng) Giá ban đầu của chiếc cà vạt là: $464166,67:80\times 100=580208,33$ (đồng) Đáp số: Đôi giày: 451870 đồng; Chiếc cà vạt: 580208,33 đồng